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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
As companhias aéreas permitem aos passageiros despacharem suas bagagens nas seguintes condições: cada companhia estabelece um limite de peso que cada passageiro pode transportar sem custo adicional. Caso o peso total da bagagem exceda o limite estabelecido, o passageiro deverá então pagar uma taxa adicional para despachar suas bagagens. Esta taxa adicional é um valor proporcional à quantidade de quilogramas além do limite de peso estabelecido.
(a) A companhia Alfa-Air cobra [tex]R\$\,23,00[/tex] por quilograma de bagagem acima do limite estabelecido de [tex]25 \, \text{kg}[/tex]. Carlos viaja com um total de [tex]32,5\, \text{kg}[/tex] de bagagem. Quantos reais ele pagou de taxa adicional para poder transportar toda sua bagagem?
(b) Os irmãos Willian e Eduardo pagam [tex]R\$\,120,00[/tex] e [tex]R\$\,40,00[/tex] de taxa adicional à companhia Beta-Air, respectivamente. Juntos, têm no total [tex]52 \, \text{kg}[/tex] de bagagem. Se Willian tivesse viajado sozinho com toda a bagagem, teria que pagar [tex]R\$\,340,00[/tex]. Qual é o peso máximo que se pode transportar de bagagem nessa companhia sem ter que pagar a taxa adicional?
OBS.: Seguindo a linguagem usual, neste enunciado utilizamos peso onde deveríamos ter utilizado massa.
Adaptado da XXIV OPM – Fase Final.
Solução
(a) A bagagem de Carlos possui um excedente de [tex]32,5-25=7,5\, \text{kg}[/tex].
Logo, ele deverá pagar uma taxa de [tex]7,5\times 23=\textcolor{#800000}{R\$\,172,50}[/tex].
(b) Sejam [tex]x[/tex] o peso máximo que se pode transportar de bagagem individual na Beta-Air sem ter que pagar a taxa adicional e [tex]t[/tex] a taxa, em reais, por quilograma excedido. Sejam ainda [tex]w[/tex] e [tex]e[/tex] os pesos das bagagens de Willian e Eduardo, respectivamente.
Sabemos que
[tex]\quad w+e=52 \, \text{kg}\qquad \textcolor{#800000}{(1)}[/tex]
e também que
[tex]\quad R\$\,120,00 = (w-x)\cdot t= wt-xt\qquad \textcolor{#800000}{(2)}[/tex]
[tex]\quad R\$\,40,00 = (e-x)\cdot t= et-xt.\qquad \textcolor{#800000}{(3)}[/tex]
Finalmente, sabemos que
[tex]\quad R\$\,340,00 = ((w+e)-x)\cdot t = (w+e)\cdot t-xt.\qquad \textcolor{#800000}{(4)}[/tex]
Substituindo a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] na igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(4)}[/tex], obtemos
[tex]\quad R\$\,340,00 = 52t-xt.\qquad \textcolor{#800000}{(5)}[/tex]
Da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(5)}[/tex], tem-se [tex]-xt=R\$\,340,00-52t[/tex]. Substituindo nas igualdades [tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(3)}[/tex], obtemos
[tex]\quad wt-52t=-R\$\,220,00\qquad \textcolor{#800000}{(6)}[/tex]
[tex]\quad et-52t=-R\$\,300,00.\qquad \textcolor{#800000}{(7)}[/tex]
Somando [tex] \textcolor{#800000}{(6)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(7)}[/tex], obtemos
[tex]\quad (w+e)t-104t=-R\$\,520,00[/tex],
de onde segue, utilizando a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex], que
[tex]\quad 52t-104t=-R\$\,520,00[/tex]
[tex]\quad -52t=-R\$\,520,00[/tex]
[tex]\quad t=\textcolor{#800000}{R\$\,10,00}[/tex].
Substituindo este valor na igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(5)}[/tex], obtemos [tex]x=52-34=\textcolor{#800000}{18 \, \text{kg}}[/tex].
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