.Problemão: Ataque o problema pela raiz

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Sendo $\alpha$ uma raiz da equação $x^2 – x – 1 = 0$, determine $\, \alpha^5 – 5\alpha \,$ sem calcular $\alpha$.

Solução

Se $\alpha$ é raiz da equação $x^2 – x – 1 = 0$, então $\alpha^2 – \alpha – 1 = 0$, ou seja, $\boxed{\alpha^2 = \alpha + 1}$.
Vamos utilizar esse resultado diversas vezes nos cálculos das potências $\alpha^n$ para $n = 3, \,4,\, 5$.

$\begin{align*}\alpha^3 &= \alpha \cdot \alpha^2 \\ &= \alpha \cdot (\alpha + 1) \\ &= \alpha^2 + \alpha \\ &= \alpha + 1 + \alpha \\ &= 2\alpha + 1\end{align*}$

$\begin{align*}\alpha^4 &= \alpha \cdot \alpha^3 \\ &= \alpha \cdot (2\alpha + 1) \\ &= 2\alpha^2 + \alpha \\ &= 2\cdot(\alpha + 1) + \alpha \\ &= 2\alpha + 2 + \alpha\\ &= 3\alpha + 2\end{align*}$

$\begin{align*}\alpha^5 &= \alpha \cdot \alpha^4 \\ &= \alpha \cdot (3\alpha + 2) \\ &= 3\alpha^2 + 2\alpha \\ &= 3\cdot(\alpha + 1) + 2\alpha \\ &= 3\alpha + 3 + 2\alpha\\ &= 5\alpha + 3\end{align*}$

Ora, se $\alpha^5 = 5\alpha + 3$, então $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\alpha^5 – 5\alpha = 3$}$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.