Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sendo [tex]\alpha[/tex] uma raiz da equação [tex]x^2 – x – 1 = 0[/tex], determine [tex] \, \alpha^5 – 5\alpha \, [/tex] sem calcular [tex]\alpha[/tex].
Solução
Se [tex]\alpha[/tex] é raiz da equação [tex]x^2 – x – 1 = 0[/tex], então [tex]\alpha^2 – \alpha – 1 = 0[/tex], ou seja, [tex]\boxed{\alpha^2 = \alpha + 1}[/tex].
Vamos utilizar esse resultado diversas vezes nos cálculos das potências [tex]\alpha^n[/tex] para [tex]n = 3, \,4,\, 5[/tex].
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[tex]\begin{align*}\alpha^3 &= \alpha \cdot \alpha^2 \\
&= \alpha \cdot (\alpha + 1) \\
&= \alpha^2 + \alpha \\
&= \alpha + 1 + \alpha \\
&= 2\alpha + 1\end{align*}[/tex]
[tex]\begin{align*}\alpha^4 &= \alpha \cdot \alpha^3 \\
&= \alpha \cdot (2\alpha + 1) \\
&= 2\alpha^2 + \alpha \\
&= 2\cdot(\alpha + 1) + \alpha \\
&= 2\alpha + 2 + \alpha\\
&= 3\alpha + 2\end{align*}[/tex]
[tex]\begin{align*}\alpha^5 &= \alpha \cdot \alpha^4 \\
&= \alpha \cdot (3\alpha + 2) \\
&= 3\alpha^2 + 2\alpha \\
&= 3\cdot(\alpha + 1) + 2\alpha \\
&= 3\alpha + 3 + 2\alpha\\
&= 5\alpha + 3\end{align*}[/tex]
Ora, se [tex]\alpha^5 = 5\alpha + 3[/tex], então [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\alpha^5 – 5\alpha = 3$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.