Problema
(Indicado a partir da 3ª série do E. M.)
Calcule o número de pares [tex](x, y)[/tex] inteiros tais que [tex]8x^{3} −xy −x−5y−13=0[/tex].
Extraído de OMU.
Solução
Isolando [tex]y[/tex], temos [tex]8x^3-x-13=y(x+5).[/tex]
Considerando [tex]x\neq-5[/tex], podemos dividir ambos os lados por [tex]x+5[/tex], obtendo [tex]\dfrac{8x^3-x-13}{x+5}=y.[/tex]
Como [tex]y[/tex] é inteiro, o lado esquerdo da equação deve ser inteiro. Realizando a divisão de polinômios, temos:
[tex]\dfrac{(8x^2-40x+199)(x+5)-1008}{x+5}=8x^2-40x+199-\dfrac{1008}{x+5}=y[/tex]
Logo [tex]\dfrac{1008}{x+5}=y-8x^2+40x-199.[/tex]
Como o lado direito da igualdade é inteiro, o lado esquerdo também deve ser.
Para que [tex]\dfrac{1008}{x+5}[/tex] seja inteiro, então [tex]x+5[/tex] deve ser divisor de [tex]1008=2^4\cdot3^2\cdot7[/tex].
Esse número possui [tex]5\cdot3\cdot2=30[/tex] divisores naturais. Contando os divisores negativos, há [tex]60[/tex] divisores inteiros. Como cada um deles está associado a [tex]x[/tex] de modo linear ([tex]x+5[/tex] = divisor de [tex]1008[/tex]), então cada divisor de [tex]1008[/tex] gera um [tex]x[/tex] distinto. Assim, nesse caso há [tex]60[/tex] soluções de pares inteiros [tex](x, y)[/tex].
Considerando agora o segundo caso, no qual [tex]x=-5[/tex], temos
[tex]8\cdot(-5)^3-5y+5+5y-13=0\therefore-1008=0[/tex], um absurdo.
Logo, as únicas soluções inteiras para o problema são as do primeiro caso. Desse modo, há [tex]60[/tex] pares [tex](x,y)[/tex] de inteiros que são soluções do problema.
Solução elaborada pelo COM Koreil Guys, com contribuições dos moderadores do Blog.