Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Ali Babão encontrou a equação [tex]\boxed{4^x+6^x=2\cdot 9^x}[/tex] em um livro antigo de sua coleção.
Qual a solução dessa equação no conjunto dos números reais?
Solução
Dividindo ambos os membros da equação dada por [tex]9^x[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \begin{align*} 4^x+6^x=2\cdot 9^x & \iff \dfrac{4^x}{9^x}+\dfrac{6^x}{9^x}=2\\
& \iff \left(\dfrac{4}{9}\right)^x+\left(\dfrac{6}{9}\right)^x-2=0\\
& \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}-2=0. \qquad \textcolor{#800000}{(i)} \end{align*}[/tex]
Fazendo, agora, [tex]\boxed{\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=y}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos a equação [tex]y^2+y-2=0[/tex], cujas soluções são [tex]y=1[/tex] ou [tex]y=-2.[/tex]
Perceba que a última solução não convém, uma vez que [tex]\boxed{\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=y}[/tex] e uma potência de base positiva não pode resultar em um número negativo.
Assim, como
[tex]\qquad \qquad \left(\dfrac{2}{3}\right)^x=y \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1 \iff x=0 \, [/tex],
temos que a única solução da equação [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4^x+6^x=2\cdot 9^x$}[/tex] no conjunto dos números reais é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=0$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.