.Problemão: Álgebra de matrizes

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Sejam:

• $X=\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right)$ uma matriz quadrada de tamanho $2\times 2$,
• $t(X)=x_1+x_4$, o traço de $X$
• e $D(X)=x_1x_4-x_3x_2$, o determinante de $X$.

Considerando $\boxed{s=\sqrt{D(X)}}$ e $\boxed{t=\sqrt{t(X)+2s}} \,$, prove que:

(a) Se $t\neq 0$ então a matriz $R$, dada por
$\qquad \qquad R=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc} x_1+s & x_2 \\ x_3 & x_4+s \end{array}\right)\\ $
é uma raiz quadrada de $X$, isto é, $R^2=R\cdot R=X$.

(b) Seja $C$ a matriz quadrada dada por
$\qquad \qquad C=\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$.
Encontre uma matriz $X$ de tamanho $2\times 2$ que seja solução da seguinte equação matricial de segundo grau
$\qquad \qquad X^2+ X+C=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right).$

Solução

(a) Para que $R$ seja uma raiz quadrada de $X$ temos que mostrar a seguinte igualdade matricial $\boxed{R^2=R\cdot R=X}.$
Assim, para solucionar este item, basta realizar a multiplicação matricial:
$\qquad \begin{align*} R^2=R\cdot R&=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc} x_1+s & x_2 \\ x_3 & x_4+s \end{array}\right)\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc} x_1+s & x_2 \\ x_3 & x_4+s \end{array}\right)\\ \\ &=\dfrac{1}{t^2}\left(\begin{array}{cc} (x_1+s)^2+x_2x_3 & (x_1+s)x_2+x_2(x_4+s) \\ x_3(x_1+s)+(x_4+s)x_3 & x_3x_2+(x_4+s)^2 \end{array}\right) \end{align*}$
e observar que
$\qquad \begin{align*} \boxed{(x_1+s)^2+x_2x_3}&=x_1^2+2x_1s+s^2+x_2x_3=x_1^2+2x_1s+(x_1x_4-x_2x_3)+x_2x_3\\ &=x_1(x_1+2s+x_4)=x_1(t(X)+2s)=\boxed{x_1t^2} \, ; \end{align*}$
$\qquad \boxed{(x_1+s)x_2+x_2(x_4+s)} =x_2(x_1+2s+x_4)=x_2(t(X)+2s)=\boxed{x_2t^2} \, ;$
$\qquad \boxed{x_3(x_1+s)+(x_4+s)x_3}=x_3(x_1+2s+x_4)=x_3(t(X)+2s)=\boxed{x_3t^2} \, ;$
$\qquad \begin{align*} \boxed{x_3x_2+(x_4+s)^2}&=x_3x_2+x_4^2+2x_4s+s^2=x_3x_2+x_4^2+2x_4s+(x_1x_4-x_2x_3)\\ &=x_4(x_4+2s+x_1)=x_4(t(X)+2s)=\boxed{x_4t^2} \, . \end{align*}$
Assim,
$\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R^2$}=R\cdot R=\dfrac{1}{t^2}\left(\begin{array}{cc} t^2x_1 & t^2x_2 \\ t^2x_3 & t^2x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right)= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$X$} \, .$

(Neste caso, diremos que $R \,$ é a raiz quadrada matricial de $X \,$ e indicaremos assim: $R=\sqrt{X} \, .$)

(b) Vamos imitar o processo de obtenção da fórmula usada na resoluções de equações do 2º grau:
Se $I$ denota a matriz identidade de tamanho $2\times 2$, então temos que:
$\qquad \qquad X^2+ X=-C \, \, \, \Longleftrightarrow \, \, \, \boxed{X^2+ X+\dfrac{1}{4}I}=\dfrac{1}{4}I-C=\boxed{\dfrac{I-4C}{4}} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Do fato de a multiplicação matricial ser distributiva com relação à adição matricial obtemos que:
$\qquad \begin{align*}\boxed{\left(X+\dfrac{1}{2}I\right)^2}&=\left(X+\dfrac{1}{2}I\right)\cdot \left(X+\dfrac{1}{2}I\right)=X^2+\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{2}X+\dfrac{1}{4}I\\ &=\boxed{X^2+ X+\dfrac{1}{4}I} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\end{align*}$
Desta maneira,
$\qquad \left(X+\dfrac{1}{2}I\right)^2\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}X^2+ X+\dfrac{1}{4}I\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\dfrac{I-4C}{4}.$
Assim,
$\qquad X=\dfrac{-I+\sqrt{I-4C}}{2},$
em que $\sqrt{ \, }$ denota, neste caso, a raiz matricial introduzida no item anterior.
Seja $Y$ a matriz
$\qquad Y=I-4C=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 9 & 4 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$
Para determinarmos $X$, precisaremos encontrar uma raiz quadrada matricial para $Y$ e para isso vamos utilizar a fórmula do item (a).
Neste caso, note que $\boxed{t(Y)=9+1=10} \, , \, \boxed{D(Y)=9\times 1+0\times 4=9} \, , \, \boxed{s=\sqrt{9}=3} \, , \, \boxed{t=\sqrt{10+2\times 3}=4}$ e, com isso, uma raiz quadrada de $Y$ é dada por

$\qquad \sqrt{Y}=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc} 9+s & 4 \\ 0 & 1+s \end{array}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\begin{array}{cc} 9+3 & 4 \\ 0 & 1+3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

e uma raiz $X$ da equação matricial $X^2+ X+C=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ pode finalmente ser obtida:

$\quad X=\dfrac{-I+\sqrt{I-4C}}{2}$

$\quad X=\dfrac{-I+\sqrt{Y}}{2}$

$\quad X=-\dfrac{1}{2}I+\dfrac{1}{2}\sqrt{Y}$

$\quad X=-\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

$\quad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$X=\left(\begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{array}\right)$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.