.Problemão: Acrescentando algarismos em X

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Seja

$X$ o menor número natural com a propriedade de que, ao inserir qualquer algarismo não nulo

$c$ após o último algarismo de

$X$ (ou seja, à direita de

$X$ ), o número resultante é sempre divisível por

$c$ .
Qual é o valor de

$X$ ?

Adaptado de 2º TME².

Solução 1

Após acrescentarmos o algarismo

$c$ à direita de

$X$ , o novo número poderá ser escrito da forma

$10X+c$ . Precisamos, portanto, que o algarismo

$c$ divida a expressão

$10X+c$ . Agora observe que

$c$ já divide a parcela

$c$ dessa expressão. Assim, nos resta impor condições a

$X$ para que

$c$ divida a outra parcela (

$10X$ ). Como

$c$ pode ser qualquer algarismo de

$1$ a

$9$ , então precisamos que

$10X$ seja múltiplo de qualquer um desses nove algarismos e, além disso, seja o menor possível. Portanto, devemos ter

$10X = mmc(1,2,3,4,5,6,7,8,9) = 2520\Rightarrow \boxed{X = 252}$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

A segunda solução utiliza congruência modular. Este não é um assunto curricular do ensino básico, mas é muito útil em olimpíadas. Assim, não deixe de dar uma passadinha na nossa Sala sobre a Aritmética dos Restos.

Solução 2

Note que, quando inserimos um algarismo adicional

$c$ após o último algarismo de um número

$X$ , estamos fazendo

$10\cdot X+c$ .

Pelo enunciado, temos que $c \mid 10 \cdot X + c$ , isto é, $c$ divide esse novo número para qualquer $c\in\{1,2,…,9\}$ . Usando que $c \mid c$ , obtemos, por combinação linear:

$c \mid 10 \cdot X + c – c$ , e portanto, $c \mid 10 \cdot X$ .

Basta, então, que satisfaçamos essa divisibilidade.

Para $c=1$ , a relação $c \mid 10 \cdot X$ se satisfaz, pois 1 divide todo número natural.

Note que podemos escrever $10 = 2 \cdot 5$ , e portanto $c \mid 2 \cdot 5 \cdot X$ .

Isso significa que, quando $c = 2$ ou $c = 5$ , a relação $c \mid 2\cdot 5 \cdot X$ também se satisfaz, pois $10\cdot X$ é múltiplo de 5 e de 2 para todo $X$ natural.

Observe, agora, que $10\cdot X$ também deve ser múltiplo de 3, 6 e 9.

Com isso em mente, repare que se $10\cdot X$ for múltiplo de 9, ele também é múltiplo de 3 e de 6. Isso ocorre pois todo múltiplo de 9 é também múltiplo de 3, e sendo assim, como $10\cdot X$ deve ser múltiplo de 3 e possui um fator 2 (do número 10), ele também é múltiplo de 6. Sendo assim, podemos escrever que:

$X \equiv 0 \pmod 9$ , mostrando que $X$ deve ser múltiplo de 9.

Devemos ter também que $10\cdot X$ é múltiplo de 4 e de 8. Como, novamente, $10\cdot X$ já possui um fator 2 na multiplicação, precisamos apenas que $X$ seja múltiplo de 4, pois assim, $10\cdot X$ será múltiplo de 4 e de 8.

Logo, temos que $X \equiv 0 \pmod 4$ .

Por fim, devemos ter que $10\cdot X$ é um múltiplo de 7, e a única forma que temos de fazer isso é fazendo $X \equiv 0 \pmod 7$ .
Logo, para satisfazermos o enunciado, o seguinte sistema de congruências deve ser solucionado:

$\qquad \begin{cases} X\equiv 0 \pmod 9 \\ X \equiv 0 \pmod 4 \\ X \equiv 0 \pmod 7 \end{cases}$

Como 9, 4 e 7 são todos primos entre si e $X$ é múltiplo de todos eles, basta que $X$ seja o mínimo múltiplo comum entre eles, isto é, $X=4\cdot 7 \cdot 9 = 252$ .

Essa minimalidade nos garante que $X$ é o menor número com tal propriedade, que pode ser verificada:

$\qquad \begin{align}&2521\div 1=2521; &2524\div 4 &=631; & 2527\div 7 &=361;\\ &2522\div 2 =1261; &2525\div 5 &=505; & 2528\div 8 &=316;\\ &2523\div 3 =841; &2526\div 6& =421; & 2529\div 9 &=281. \end{align}$

Solução elaborada pelo Clube Phidias.

Participou da discussão o Clube Phidias.