Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Seja [tex]X[/tex] o menor número natural com a propriedade de que, ao inserir qualquer algarismo não nulo [tex]c[/tex] após o último algarismo de [tex]X[/tex] (ou seja, à direita de [tex]X[/tex]), o número resultante é sempre divisível por [tex]c[/tex].
Qual é o valor de [tex]X[/tex]?
Adaptado de 2º TME².
Solução 1
Após acrescentarmos o algarismo [tex]c[/tex] à direita de [tex]X[/tex], o novo número poderá ser escrito da forma [tex]10X+c[/tex]. Precisamos, portanto, que o algarismo [tex]c[/tex] divida a expressão [tex]10X+c[/tex]. Agora observe que [tex]c[/tex] já divide a parcela [tex]c[/tex] dessa expressão. Assim, nos resta impor condições a [tex]X[/tex] para que [tex]c[/tex] divida a outra parcela ([tex]10X[/tex]). Como [tex]c[/tex] pode ser qualquer algarismo de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex], então precisamos que [tex]10X[/tex] seja múltiplo de qualquer um desses nove algarismos e, além disso, seja o menor possível. Portanto, devemos ter [tex]10X = mmc(1,2,3,4,5,6,7,8,9) = 2520\Rightarrow \boxed{X = 252}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Note que, quando inserimos um algarismo adicional [tex]c[/tex] após o último algarismo de um número [tex]X[/tex], estamos fazendo [tex]10\cdot X+c[/tex].
Pelo enunciado, temos que [tex]c \mid 10 \cdot X + c[/tex], isto é, [tex]c[/tex] divide esse novo número para qualquer [tex]c\in\{1,2,…,9\}[/tex]. Usando que [tex]c \mid c[/tex], obtemos, por combinação linear:
[tex]c \mid 10 \cdot X + c – c[/tex], e portanto, [tex]c \mid 10 \cdot X[/tex].
Basta, então, que satisfaçamos essa divisibilidade.
Para [tex]c=1[/tex], a relação [tex]c \mid 10 \cdot X[/tex] se satisfaz, pois 1 divide todo número natural.
Note que podemos escrever [tex]10 = 2 \cdot 5[/tex], e portanto [tex]c \mid 2 \cdot 5 \cdot X[/tex].
Isso significa que, quando [tex]c = 2[/tex] ou [tex]c = 5[/tex], a relação [tex]c \mid 2\cdot 5 \cdot X[/tex] também se satisfaz, pois [tex]10\cdot X[/tex] é múltiplo de 5 e de 2 para todo [tex]X[/tex] natural.
Observe, agora, que [tex]10\cdot X[/tex] também deve ser múltiplo de 3, 6 e 9.
Com isso em mente, repare que se [tex]10\cdot X[/tex] for múltiplo de 9, ele também é múltiplo de 3 e de 6. Isso ocorre pois todo múltiplo de 9 é também múltiplo de 3, e sendo assim, como [tex]10\cdot X[/tex] deve ser múltiplo de 3 e possui um fator 2 (do número 10), ele também é múltiplo de 6. Sendo assim, podemos escrever que:
[tex]X \equiv 0 \pmod 9[/tex], mostrando que [tex]X[/tex] deve ser múltiplo de 9.
Devemos ter também que [tex]10\cdot X[/tex] é múltiplo de 4 e de 8. Como, novamente, [tex]10\cdot X[/tex] já possui um fator 2 na multiplicação, precisamos apenas que [tex]X[/tex] seja múltiplo de 4, pois assim, [tex]10\cdot X[/tex] será múltiplo de 4 e de 8.
Logo, temos que [tex]X \equiv 0 \pmod 4[/tex].
Por fim, devemos ter que [tex]10\cdot X[/tex] é um múltiplo de 7, e a única forma que temos de fazer isso é fazendo [tex]X \equiv 0 \pmod 7[/tex].
Logo, para satisfazermos o enunciado, o seguinte sistema de congruências deve ser solucionado:
[tex]\qquad \begin{cases}
X\equiv 0 \pmod 9 \\
X \equiv 0 \pmod 4 \\
X \equiv 0 \pmod 7
\end{cases}[/tex]
Como 9, 4 e 7 são todos primos entre si e [tex]X[/tex] é múltiplo de todos eles, basta que [tex]X[/tex] seja o mínimo múltiplo comum entre eles, isto é, [tex]X=4\cdot 7 \cdot 9 = 252[/tex].
Essa minimalidade nos garante que [tex]X[/tex] é o menor número com tal propriedade, que pode ser verificada:
[tex]\qquad \begin{align}&2521\div 1=2521; &2524\div 4 &=631; & 2527\div 7 &=361;\\
&2522\div 2 =1261; &2525\div 5 &=505; & 2528\div 8 &=316;\\
&2523\div 3 =841; &2526\div 6& =421; & 2529\div 9 &=281.
\end{align}[/tex]
Solução elaborada pelo Clube Phidias.