Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Para cada inteiro positivo [tex]n[/tex], considere a função assim definida:
[tex]\qquad \qquad f(n)=\log_{2730} n^2[/tex], com o logaritmo na base [tex]2730.[/tex]
Nessas condições, quanto vale [tex]f(13)+f(14)+f(15)[/tex]?
Ajuda
O logaritmo é uma ferramenta que foi criada para simplificar cálculos complicados na matemática antiga, período no qual não existia calculadora, já que propriedades dos logaritmos permitem transformar multiplicações em adições e divisões em subtrações. Nos dias de hoje, com a popularização das calculadoras e dos computadores, a utilidade do logaritmo para cálculos pode até ter diminuído; no entanto, funções que utilizam logaritmos em suas leis de formação são importantes modelos matemáticos para uma grande gama de situações (problemas de juros, crescimento populacional, cronologia do carbono, entre outros), uma vez que funções logarítmicas e funções exponenciais representam as únicas maneiras de se descrever matematicamente uma grandeza cuja taxa de variação é proporcional à quantidade dessa grandeza presente num dado momento.
Particularmente, a propriedade que ajuda na solução deste problema é aquela que garante que "o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos":
- Para [tex]a,b,c[/tex] números reais positivos, com [tex]c\ne 1[/tex], [tex]c[/tex], [tex]\boxed{\log_c \left(a\cdot b\right)=\log_c a + \log_c b} \, .\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Outra propriedade básica dos logaritmos é a seguinte:
- Em qualquer base real positiva [tex]c[/tex], com [tex]c\ne 1[/tex], [tex]\boxed{\log_c \left(c \right)=1} \, .\quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Solução
Utilizando a propriedade explicitada na Ajuda, temos que:
[tex]\qquad \qquad \quad \quad f(n)= \log_{2730} n^2 = \log_{2730} \left(n \cdot n \right) \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} \log_{2730} n + \log_{2730} n = 2 \log_{2730} n \, .[/tex]
Assim:
[tex]\qquad \begin{align*} \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(13)+f(14)+f(15)$}&= 2 \log_{2730} 13 + 2 \log_{2730} 14 + 2 \log_{2730} 15\\
&= 2 \left(\log_{2730} 13 + \log_{2730} 14 + \log_{2730} 15 \right)\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} 2 \log_{2730} \left(13 \cdot 14 \cdot 15\right)\\
&= 2 \log_{2730} 2730\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}2\cdot1\\
& = \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$} \, .
\end{align*}[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.