Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Quantos números palíndromos múltiplos de [tex]6[/tex] estão compreendidos entre [tex]2009 \, [/tex] e [tex] \, 9002[/tex]?
Ajuda
Palíndromos são palavras, frases ou números que podem ser lidos de frente para trás ou de trás para frente, sem que haja mudança da sua significação:
- [tex]12321 \longleftrightarrow 12321[/tex]
- OSSO [tex]\longleftrightarrow[/tex] OSSO
- LUZ AZUL [tex]\longleftrightarrow[/tex] LUZ AZUL
- EVA ASSE ESSA AVE [tex]\longleftrightarrow[/tex] EVA ASSE ESSA AVE
Na leitura de trás para frente de um palíndromo não são levados em consideração sinais de pontuação, sinais de acentuação, a divisão silábica e o espaçamento entre as palavras.
Solução
Vamos procurar palíndromos que são múltiplos de [tex]6[/tex] ou, de outra forma, palíndromos que são divisíveis por [tex]6[/tex]. Assim, esses palíndromos são múltiplos de [tex]2[/tex] e de [tex]3[/tex].
- Por serem múltiplos de dois, esses palíndromos são números pares e, portanto, o último dígito de cada um é par. Como buscamos palíndromos, o primeiro dígito de tais números também é par.
Pelo até aqui exposto, os números em questão têm as seguintes características: são palíndromos; têm quatro algarismos; são pares. Assim, os números em questão têm uma das seguintes formas:
[tex]\qquad \qquad \boxed{2aa2}\qquad ; \qquad \boxed{4aa4}\qquad ; \qquad \boxed{6aa6}\qquad ; \qquad \boxed{8aa8}.[/tex]
- Sabemos também que os números em questão são múltiplos de [tex]3[/tex], logo a soma de seus algarismos é um múltiplo de três.
A partir dessa última informação, vamos analisar cada uma das quatro formas que os palíndromos que buscamos podem ter.
- Sabemos que [tex]2aa2[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]3[/tex], então [tex]2+a+a+2=4+2a=\boxed{2(2+a)}[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex] e essa condição é cumprida apenas se [tex]a \in \{1 \, , \, 4 \, , \, 7\}[/tex]. Isso significa que há três palíndromos com essa forma.
- Sabemos que [tex]4aa4[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]3[/tex], então [tex]4+a+a+4=8+2a=\boxed{2(4+a)}[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex] e essa condição é cumprida apenas se [tex]a \in \{2 \, , \, 5 \, , \, 8\}[/tex]. Isso significa que há três palíndromos com essa forma.
- Sabemos que [tex]6aa6[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]3[/tex], então [tex]6+a+a+6=12+2a=\boxed{2(6+a)}[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex] e essa condição é cumprida apenas se [tex]a \in \{0 \, , \, 3 \, , \, 6, \, 9\}[/tex]. Isso significa que há quatro palíndromos com essa forma.
- Sabemos que [tex]8aa8[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]3[/tex], então [tex]8+a+a+8=16+2a=\boxed{2(8+a)}[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex] e essa condição é cumprida apenas se [tex]a \in \{1 \, , \, 4 \, , \, 7\}[/tex]. Isso significa que há três palíndromos com essa forma.
Portanto, no total, são [tex]3+3+4+3=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$13$}[/tex] palíndromos múltiplos de [tex]6[/tex] que estão entre [tex]2009 \, [/tex] e [tex] \, 9002.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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