Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(Adaptado de Maclaurin Olympiad, 2003-2009) Dado que
- [tex](x-y)(y-z)(z+x)=-90\qquad [/tex] e [tex]\qquad (x-y)(y+z)(z-x)=42[/tex],
calcule o valor de [tex]\boxed{z(x-y)^2}\,.[/tex]
Solução
- Vamos adicionar as duas equações dadas, membro a membro:
[tex]\qquad (x-y)(y-z)(z+x)+(x-y)(y+z)(z-x)=-90+42=-48[/tex]. - Colocando o termo [tex](x-y)[/tex] em evidência, obtemos:
[tex]\qquad (x-y)\big[(y-z)(z+x)+(y+z)(z-x)\big]=-48[/tex]. - Agora, apliquemos a propriedade distributiva nas duas multiplicações que aparecem dentro dos colchetes:
[tex]\qquad (x-y)\big[yz+yx-z^2-zx+yz-yx+z^2-zx\big]=-48[/tex]. - Eliminando os termos opostos, temos que:
[tex]\qquad (x-y)\big[2yz-2zx\big]=-48[/tex]. - Colocando o termo [tex]2z[/tex] em evidência nessa última igualdade, segue que:
[tex]\qquad 2z\,(x-y)\big[y-x\big]=-48[/tex]. - Agora, perceba que [tex][y-x] =-(x-y)[/tex]. Assim:
[tex]\qquad -2z(x-y)(x-y)=-48[/tex].
Portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\,z\,(x-y)^2=24$}\,.[/tex]
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