Problema
- Quando três números inteiros positivos [tex]x, y[/tex] e [tex]z[/tex] satisfazem a equação
[tex]x^2+y^2=z^2[/tex],
dizemos que [tex](x, y, z)[/tex] é um terno pitagórico.
Prove que se [tex] (a, b, c\,)[/tex] e [tex](\,A, B, C) [/tex] são ternos pitagóricos tais que [tex]aA-bB \gt 0 [/tex], então [tex](aA-bB, aB + bA, cC) [/tex] também é um terno pitagórico.
Solução
Temos como hipóteses que [tex](a, b, c)\,[/tex] e [tex]\,(A, B, C)[/tex] são ternos pitagóricos, ou seja,
[tex]\quad\quad a^2 + b^2 = c^2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textcolor{red}{(I)}[/tex]
e
[tex]\quad\quad A^2 + B^2 = C^2.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textcolor{red}{(II)}[/tex]
Devemos mostrar [tex](aA-bB , aB + bA, c\,C)[/tex] é um terno pitagórico.
Ora,
[tex]\quad \begin{align*}(aA-bB)^2 + (aB + bA)^2 &=a^2 A^2-2aAbB + b^2 B^2 + a^2 B^2 + 2aBbA + b^2 A^2\\
&= a^2 A^2 + b^2 B^2 + a^2 B^2 + b^2 A^2\\
&= (a^2 + b^2) A^2 + (a^2 + b^2) B^2\\
&= (a^2 + b^2) (A^2 + B^2)\,.\end{align*}[/tex]
Pelas hipóteses [tex]\textcolor{red}{(I)}[/tex] e [tex]\textcolor{red}{(II)}[/tex], [tex] (a^2 + b^2) (A^2 + B^2) = c^2 C^2[/tex]; assim,
[tex]\quad (aA-bB)^2 + (aB + bA)^2 = c^2 C^2 = (c\,C)^2[/tex].
Logo, [tex](aA-bB , aB + bA, c\,C)[/tex] é, de fato, um terno pitagórico.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .