.Problema: x litros

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

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Retiram-se $x$ litros de leite de um recipiente de $75$ litros e adicionam-se $x$ litros de água.
Feito isso, retiram-se do recipiente outros $x$ litros da mistura e depois colocam-se mais $x$ litros de água.
No final, resulta um conteúdo de $48$ litros de leite.
Qual o valor de $x$, em litros?

Solução

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• Dos $75$ litros, após a primeira operação, temos que $\textcolor{red}{x}$ litros são água. Assim, $\textcolor{blue}{75-x}$ litros são de leite.

Dessa forma, a fração de leite presente no recipiente, neste momento, é $\textcolor{blue}{\dfrac{75-x}{75}}$ e a fração de água é $\textcolor{red}{\dfrac{x}{75}}$.

• Ao retirarmos $x$ litros da mistura, estamos retirando $\textcolor{blue}{\dfrac{75-x}{75}\cdot x}$ litros de leite e $\textcolor{red}{\dfrac{x}{75}\cdot x}$ litros de água.

Assim, a quantidade que sobra de leite, após essa operação, é
$\qquad \qquad \textcolor{blue}{(75-x)-\dfrac{75-x}{75}\cdot x} \,$.
Como sabemos que essa quantidade corresponde a $48$ litros, ficamos com a seguinte equação:
$\qquad \qquad (75-x)-\dfrac{75-x}{75}\cdot x=48. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

De $\textcolor{#800000}{(i)}$, segue que
$\qquad \qquad 75\times \left((75-x)-\dfrac{75-x}{75}\cdot x \right)=75\times 48$
$\qquad \qquad(75^2-75x)-(75-x)\cdot x =3600$
$\qquad \qquad 5625-75x-75x+x^2 =3600$
$\qquad \qquad x^2-150x+2025=0 . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

As soluções da equação $\textcolor{#800000}{(ii)}$, e consequentemente da equação $\textcolor{#800000}{(i)}$, são $x_1=15$ litros e $x_2=135$ litros. Mas, como $x\leq 75$, temos $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=15$}$ litros.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.