Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Retiram-se [tex]x[/tex] litros de leite de um recipiente de [tex]75[/tex] litros e adicionam-se [tex]x[/tex] litros de água.
Feito isso, retiram-se do recipiente outros [tex]x[/tex] litros da mistura e depois colocam-se mais [tex]x[/tex] litros de água.
No final, resulta um conteúdo de [tex]48[/tex] litros de leite.
Qual o valor de [tex]x[/tex], em litros?
Solução
- Dos [tex]75[/tex] litros, após a primeira operação, temos que [tex]\textcolor{red}{x}[/tex] litros são água. Assim, [tex]\textcolor{blue}{75-x}[/tex] litros são de leite.
- Ao retirarmos [tex]x[/tex] litros da mistura, estamos retirando [tex]\textcolor{blue}{\dfrac{75-x}{75}\cdot x}[/tex] litros de leite e [tex]\textcolor{red}{\dfrac{x}{75}\cdot x}[/tex] litros de água.
Dessa forma, a fração de leite presente no recipiente, neste momento, é [tex]\textcolor{blue}{\dfrac{75-x}{75}}[/tex] e a fração de água é [tex]\textcolor{red}{\dfrac{x}{75}}[/tex].
Assim, a quantidade que sobra de leite, após essa operação, é
[tex]\qquad \qquad \textcolor{blue}{(75-x)-\dfrac{75-x}{75}\cdot x} \, [/tex].
Como sabemos que essa quantidade corresponde a [tex]48[/tex] litros, ficamos com a seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad (75-x)-\dfrac{75-x}{75}\cdot x=48. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que
[tex]\qquad \qquad 75\times \left((75-x)-\dfrac{75-x}{75}\cdot x \right)=75\times 48[/tex]
[tex]\qquad \qquad(75^2-75x)-(75-x)\cdot x =3600[/tex]
[tex]\qquad \qquad 5625-75x-75x+x^2 =3600[/tex]
[tex]\qquad \qquad x^2-150x+2025=0 . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
As soluções da equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], e consequentemente da equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], são [tex]x_1=15[/tex] litros e [tex]x_2=135[/tex] litros. Mas, como [tex]x\leq 75[/tex], temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=15$}[/tex] litros.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.