Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Qual o valor de [tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2+…}}}}}}[/tex] ?
Solução
Seja [tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}=k[/tex].
Então, observe que
[tex]\quad k=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}=\sqrt{2+k}[/tex],
donde
[tex]\quad k^2=2+k[/tex].
Assim, obtemos a equação do segundo grau [tex] k^2-k-2=0 [/tex], cujas raízes são [tex]k_1=-1\,[/tex] e [tex]\,k_2=2[/tex].
Como nossa expressão inicial define apenas valores positivos, temos que
[tex]\quad k=\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}=2$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.