Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine todos os pares [tex](x , y)[/tex] de números reais tais que [tex](x^2 + y^2 – 1)^2 + (xy)^2 = 0[/tex].
Solução
Sendo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais, temos que
[tex](i)[/tex][tex]\,\,a^2 + b^2 = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, a = 0 \,\,\textrm{e}\,\, b = 0[/tex]
[tex](ii)[/tex][tex]\,a \cdot b = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, a = 0 \,\,\textrm{ou}\,\, b = 0[/tex].
Deste modo, temos as seguintes situações equivalentes:
[tex]\qquad (x^2 + y^2 – 1)^2 + (xy)^2 = 0 \stackrel{{\color{#800000}(i)}}{\Leftrightarrow } \left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 – 1 =0\\
xy = 0
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 = 1 \\
xy = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
Da segunda equação, utilizando [tex](ii)[/tex], temos [tex]x= 0\,\,\textrm{ou}\,\,y=0[/tex].
Agora, substituindo esses valores na primeira equação, temos:
- Se [tex]x = 0[/tex], temos [tex]y^2 = 1[/tex], ou seja, [tex]y = \pm 1[/tex]. Obtemos assim os pares [tex](0,1)[/tex] e [tex](0,-1)[/tex].
- Se [tex]y = 0[/tex], temos [tex]x^2 = 1[/tex], ou seja, [tex]x = \pm 1[/tex]. Obtemos assim os pares [tex](1,0)[/tex] e [tex](-1,0)[/tex].
O conjunto solução da equação dada é, portanto, [tex]\boxed{S = \{ (0,-1);(0,1);(-1,0);(1,0)\}}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: ESQUADRÃO MATEMÁTICO.