Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
As tangentes dos ângulos internos de um triângulo são números inteiros positivos. Quais são os possíveis valores dessas tangentes?
Solução
Sejam [tex] \, \, \alpha \leq \beta \leq \gamma \, \, [/tex] as medidas dos ângulos do triângulo cujas tangentes são inteiros positivos. Dessa forma, temos
[tex]\qquad\qquad \alpha \leq \beta \leq \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}[/tex].[tex]\qquad\qquad (i)[/tex]
Perceba que
[tex]\qquad\qquad 0 \lt \alpha \leq \dfrac{\pi}{3}[/tex], [tex]\qquad\qquad (ii)[/tex]
caso contrário teríamos [tex]\alpha + \beta + \gamma \gt \pi[/tex].
No intervalo [tex] (ii)[/tex] a função tangente é crescente, portanto, [tex] \, \, 0 \lt tg\,{\alpha} \leq tg\,\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}[/tex].
Como [tex] \, \, tg\,{\alpha} \, \, [/tex] é um valor inteiro positivo, então [tex] \, \, tg\,{\alpha} = 1 \, \, [/tex], logo [tex] \, \, \alpha = \dfrac{\pi}{4} \, \, [/tex] e, portanto, [tex] \, \, \beta + \gamma = \dfrac{3 \pi}{4} \, \, [/tex], já que [tex]\alpha + \beta + \gamma=\pi[/tex].
Assim,
[tex]\qquad tg\,(\beta + \gamma) = tg\,\dfrac{3 \pi}{4}[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow \dfrac{tg\,\beta + tg\,\gamma}{1 – tg\,\beta \cdot tg\,\gamma} = -1[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow tg\,\beta \cdot tg\,\gamma-1 = tg\,\beta + tg\,\gamma[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow tg\,\beta \cdot tg\,\gamma-tg\,\beta-tg\,\gamma + 1 = 2[/tex]
[tex]\qquad \Leftrightarrow (tg\,\beta-1) \cdot (tg\,\gamma-1) = 2[/tex]
Como as tangentes são inteiros positivos, temos que um dos fatores é [tex]2[/tex] e outro [tex]1[/tex]. Por outro lado, a função tangente crescente no intervalo considerado [tex] (i)[/tex], portanto:
[tex]\qquad tg\,\beta-1 = 1\,[/tex] e [tex]\,tg\,\gamma-1 = 2[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad tg\,\beta = 2\,[/tex] e [tex]\,tg\,\gamma = 3[/tex].
Assim, [tex] \, \, \boxed{tg\,{\alpha} = 1; \, \, \, \, tg\,\beta = 2; \, \, \, \, tg\,\gamma = 3}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.