Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma carteira há oito notas de real: duas notas de [tex]R\$ \ 2,00[/tex], duas de [tex]R\$ \ 5,00[/tex], duas de [tex]R\$ \ 10,00[/tex] e duas de [tex]R\$ \ 20,00[/tex].
Se tirarmos duas notas da carteira sem fazer a reposição das mesmas, qual a probabilidade de a soma dos valores ser [tex]R\$ \ 20,00[/tex] ou mais?
Solução 1
Observe, inicialmente, que temos [tex]\dbinom{8}{2}=\dfrac{8\times7}{2\times1}=28[/tex] maneiras de retirar duas notas de um total de oito.
Por outro lado, para retirar [tex]R\$ \ 20,00[/tex] ou mais da carteira é necessário retirar uma nota de vinte e qualquer outra, ou então retirar as duas notas de dez. Vamos contar essas maneiras.
- Há 12 maneiras de retirar uma nota de vinte e uma outra nota qualquer que não seja de vinte: duas maneiras de se retirar a nota de vinte e seis maneiras de se retirar uma nota cujo valor não seja de [tex]R\$ \ 20,00[/tex].
- Há uma única maneira de retirar as duas notas de vinte reais
- Também existe apenas uma única maneira de retirar as duas notas de dez reais.
Somando todas as possibilidades de se retirar uma quantia igual ou superior a vinte reais temos, então, [tex] 14 [/tex] modos.
Então a probabilidade que queremos é [tex]\dfrac{14}{28}=\dfrac{1}{2}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Para retirarmos R$ 20,00, ou mais, é necessário retirarmos as duas notas de R$ 10,00, ou então retirarmos uma nota de R$ 20,00 e qualquer outra (inclusive a outra de R$ 20,00).
Temos [tex]\dbinom{8}{2}=\dfrac{8\times7}{2\times1}=28[/tex] maneiras de retirarmos duas notas de um total de oito.
Agora, observe que contar a quantidade de maneiras de retirarmos pelo menos uma nota de R$ 20,00 equivale a contar a quantidade de maneiras de não tirarmos nenhuma nota de R$ 20,00 e depois subtrairmos do total (no caso, [tex]28[/tex]). Portanto, o total de maneiras de não tirarmos notas de R$ 20,00 é [tex]\dbinom{6}{2}=\dfrac{6\times5}{2\times1}=15[/tex] maneiras e assim, o total de maneiras de tirarmos pelo menos uma nota de R$ 20,00 é [tex]28-15 = 13[/tex] maneiras. Mas temos ainda uma possibilidade de tirarmos as duas notas de R$ 10,00 e isso totaliza [tex]14[/tex] modos.
Logo, a probabilidade que procuramos saber é [tex]\dfrac{14}{28}=\dfrac{1}{2}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: Os Nóbregas.