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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(TROTTA,F.; IMENES, L.M.P.; JAKUBOVIC, J. “Matemática aplicada” – Adaptado) Um pai deixou para seus filhos uma herança de [tex] R$ \hspace{0.1cm} 1,2[/tex] milhão. Três dos filhos renunciaram suas partes e, com isso, os demais receberam um adicional de [tex] R$ \hspace{0.1cm}90 [/tex] mil.
Determine quantos filhos tinha esse pai.
Solução
Seja [tex] x[/tex] o números de filhos; assim, cada filho deveria receber [tex] \dfrac{1200000}{x}[/tex]. Dessa forma, com exceção dos três que renunciaram, cada um dos demais deverá receber [tex] \boxed{\dfrac{1200000}{x} + 90000}\, [/tex] reais.
Mas observe que essa mesma quantia poderia também ser calculada como [tex] \boxed{\dfrac{1200000}{x-3}}[/tex]; portanto, temos que:
[tex] \qquad \dfrac{1200000}{x}+90000 = \dfrac{1200000}{x-3}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Multiplicando a equação [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] por [tex] \dfrac{1}{30000}[/tex] segue que:
[tex] \qquad \dfrac{40}{x}+3 =\dfrac{40}{x-3}\\ \,[/tex]
[tex] \qquad 40 +3x= \dfrac{40x}{x-3}[/tex]
[tex]\qquad \left(x-3\right)\cdot \left(40 +3x\right)= 40x[/tex]
[tex]\qquad 40 \left(x-3\right) + 3x\left(x-3\right)=40x [/tex]
[tex]\qquad 40x -120+3x^{2} -9x =40x [/tex]
[tex]\qquad 3x^{2} -9x-120=0[/tex]
[tex]\qquad x^{2} -3x-40=0[/tex].
Resolvendo a equação [tex] x^{2} -3x-40=0[/tex] obtemos que
[tex]\qquad x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9+160}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{169}}{2} = \dfrac{3 \pm 13}{2}[/tex].
Como [tex]x[/tex] é a quantidade de filhos, [tex]x[/tex] deve ser um número positivo, então [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x= \dfrac{16}{2} =8$}\,[/tex] e esse é o número de filhos desse pai.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.