Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Calcule o valor da expressão numérica abaixo:
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\,[/tex].
Solução
Ao racionalizar uma expressão do tipo [tex]\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}= \dfrac{{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}}{-1}= \sqrt{x+1}-\sqrt{x}[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}= \sqrt{2}-\sqrt{1}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}= \sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}= \sqrt{4}-\sqrt{3}[/tex]
[tex]\qquad \vdots[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}= \sqrt{99}-\sqrt{98}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}= \sqrt{100}-\sqrt{99} \, .[/tex]
Somando membro a membro todas as igualdades acima, teremos:
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt{2}-\sqrt{1}+ \sqrt{3}-\sqrt{2}+ \sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdots\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=[/tex]
[tex]\qquad =\bcancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1}+\bcancel{\sqrt{3}}-\bcancel{\sqrt{2}}+\bcancel{\sqrt{4}}-\bcancel{\sqrt{3}}+ \cdots\\
\qquad \quad \cdots +\bcancel{\sqrt{99}}-\bcancel{\sqrt{98}}+ {\sqrt{100}}-\bcancel{\sqrt{99}}=[/tex]
[tex]\qquad =\sqrt{100}- \sqrt{1}=10-1=9 \, .[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.