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Problemão
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Calcule [tex]\sqrt{(1000000)\cdot(1000001)\cdot (1000002)\cdot (1000003) +1\,}\,.[/tex]
Extraído de Olimpíada Americana.
Solução
Façamos [tex]x=10^6[/tex]. Assim, segue que:
[tex]\quad \sqrt{(1000000)\cdot(1000001)\cdot (1000002)\cdot (1000003)+1}= \\
\quad \sqrt{x\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1}=\sqrt{(x^2+3x+2)\cdot (x^2+3x)+1}=\\
\quad \sqrt{x^4+3x^3+2x^2+3x^3+9x^2+6x+1}=\sqrt{x^4+6x^3+11x^2+6x+1}=\\
\quad \sqrt{x^2\cdot\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+6\cdot \left(x+\dfrac{1}{x}\right)+11 \right]\,}. \qquad \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, observe que se fizermos [tex]\boxed{k=x+\frac{1}{x}}[/tex], teremos que:
[tex]\quad k^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\\
\quad k^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\\
\quad x^2+\dfrac{1}{x^2}=k^2-2.[/tex]
Dessa forma, a expressão [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] pode ser reescrita como:
[tex]\quad \sqrt{x^2\cdot\left[k^2-2+6k+11\right]}=\\
\quad \sqrt{x^2\cdot \left[k^2+6k+9\right]}=\\
\quad \sqrt{x^2\cdot \left[k+3\right]^2}= |x\cdot(k+3)|.\qquad \quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Mas, perceba que [tex]x\cdot(k+3) \gt 0[/tex]; assim, [tex]|x\cdot(k+3)|=x\cdot(k+3)[/tex]. Dessa forma, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] que
[tex]\quad \begin{align}\sqrt{x^2\cdot\left[k^2-2+6k+11\right]}&=|x\cdot(k+3)|\\
&=x\cdot(k+3);\end{align}[/tex]
e, como [tex]\boxed{k=x+\frac{1}{x}}[/tex], temos ainda que:
[tex]\quad \begin{align}\sqrt{x^2\cdot[k^2-2+6k+11]}&= x\cdot(k+3)\\
&=10^6\cdot \left(10^6+\frac{1}{10^6}+3\right)\\
&=10^{12}+3\cdot 10^6+1.\end{align}[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{(1000000)\cdot(1000001)\cdot (1000002)\cdot (1000003)+1\,}=10^{12}+3\cdot 10^6+1^{{~}^{~}}$}\,.[/tex]
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