Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Seja [tex]x[/tex] um número que satisfaz a equação [tex]x^2+x-1=0[/tex].
Determine o valor da expressão [tex]x^8-7x^4+1[/tex].
Solução
Observe, inicialmente, que [tex]x\ne 0[/tex]; logo, temos que:
[tex]\quad x^2+x-1=0 \Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=-1 \Rightarrow \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=(-1)^2 \Leftrightarrow x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\quad x^2+\dfrac{1}{x^2}=3 \Rightarrow \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2=(3)^2 \Leftrightarrow x^4+2+ \dfrac{1}{x^4}=9 \Leftrightarrow x^4+\dfrac{1}{x^4}=7 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\quad x^4+\dfrac{1}{x^4}=7 \Leftrightarrow x^8-7x^4+1=0[/tex].
Assim, se [tex]x^2+x-1=0[/tex], então [tex] x^8-7x^4+1=0[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Fermatianos.