Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Alguém afirma que: “a probabilidade de obter pelo menos duas caras ao lançar uma moeda honesta [tex]4[/tex] vezes é a mesma probabilidade de obter pelo menos três caras ao lançar a mesma moeda [tex]6[/tex] vezes”. Julgue essa afirmação.
Extraído de Prakash Gorroochurn. Classic Problems of Probability.
Solução
Em relação ao experimento aleatório “lançar uma moeda honesta quatro vezes e contar o número de caras” vamos considerar o evento [tex]A[/tex] em que ocorre no máximo uma cara. O número de casos possíveis e equiprováveis (a moeda é honesta) para o experimento aleatório é [tex]2^4=16[/tex], já que cada lançamento da moeda pode apresentar duas possibilidades: cara (C) ou coroa (K). Os casos favoráveis ao evento [tex]A[/tex] são [tex]5[/tex]:
KKKK, CKKK, KCKK, KKCK, KKKC.
Assim, a probabilidade do evento complementar [tex]A^c[/tex], ou seja, a probabilidade de obter pelo menos duas caras ao lançar uma moeda honesta quatro vezes, é dada por
[tex]\qquad P(A^c)=1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}=0,6875.[/tex]
Em relação ao experimento aleatório “lançar uma moeda honesta seis vezes e contar o número de caras”, vamos considerar o evento [tex]A[/tex] em que ocorre no máximo duas caras. O número de casos possíveis e equiprováveis (a moeda é honesta) para o experimento aleatório é [tex]2^6=64[/tex], já que cada lançamento da moeda pode apresentar duas possibilidades: cara (C) ou coroa (K). O número de casos favoráveis para o evento [tex]A[/tex] pode ser contado da seguinte forma: [tex]1[/tex] caso em que ocorre apenas coroas, [tex]6[/tex] casos em que ocorre apenas uma cara (temos [tex]6[/tex] possibilidades para a escolha da posição em que ocorre a cara) e [tex]15[/tex] casos em que ocorrem duas caras (temos [tex]C_6^2=15[/tex] possibilidades para escolher as duas posições para as caras). Logo, temos [tex]1+6+15=22[/tex] casos favoráveis ao evento [tex]A[/tex]. Assim,
[tex]\qquad P(A^c)=1-\frac{22}{64}=\frac{42}{64}=0,65625.[/tex]
Portanto, se trata de uma afirmação equivocada.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.