Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
É possível que as seis diferenças entre dois elementos de um conjunto de quatro números inteiros sejam iguais a [tex]\, 2,\, 2,\, 3,\, 4, \, 4,\, 6[/tex]?
Justifique.
Solução 1
Não. Vejamos o porquê!
Se [tex]a,\, b,\, x\, , \, y[/tex] fossem números inteiros cujas diferenças são [tex]\, 2,\, 2,\, 3,\, 4, \, 4,\, 6[/tex], então duas dessas diferenças, digamos [tex]\,a-b\,[/tex] e [tex]\,x-y\,[/tex], seriam [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex].
Mas se [tex]\,a-b=4\,[/tex] e [tex]\,x-y=3\,[/tex], então [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] teriam a mesma paridade, enquanto que [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] teriam paridades contrárias*.
Dessa forma, [tex] \, a-x\, [/tex] e [tex]\, a-y\, [/tex] (assim como [tex]\, b-x\, [/tex] e [tex]\, b-y\, [/tex]) teriam paridades contrárias*, o que é impossível, já que as demais diferenças, [tex]2,\, 2,\, 4\,[/tex] e [tex]\, 6 [/tex], têm todas a mesma paridade.
Deste modo, é impossível que a configuração 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.
( * ) Você saberia explicar por quê? Não? Então leia este texto.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Suponhamos que existam quatro números inteiros cujas diferenças sejam [tex]\, 2,\, 2,\, 3,\, 4, \, 4,\, 6[/tex].
Se os quatro números são inteiros, então um dentre estes quatro casos deve necessariamente ocorrer:
1º) Os quatro números são todos pares ou todos ímpares.
Neste caso, as diferenças seriam todas pares*. Assim, não poderia aparecer 3 como diferença.
2º) Três números são pares e um número é ímpar.
Aqui iriam aparecer três diferenças ímpares*, o que não é o caso.
3º) Dois números são pares, e dois ímpares.
Agora deveriam aparecer quatro diferenças ímpares*, o que também não é o caso.
4º) Três números são ímpares e um par.
Mais uma vez iriam aparecer três diferenças ímpares*, o que não ocorre.
Esgotadas as possibilidades de paridade para os quatro números inteiros em questão, concluímos que é impossível que a configuração 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.
( * ) Você saberia explicar por quê? Não? Então leia este texto.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 3
Suponhamos que existam quatro números inteiros [tex]a\, \lt \, b\, \lt \, c\, \lt \, d\, [/tex] cujas diferenças sejam [tex]\, 2,\, 2,\, 3,\, 4, \, 4,\, 6[/tex].
Assim, podemos afirmar que:
- [tex]d-a=6 [/tex]; (Tente justificar.)
- as diferenças [tex]\, d-c\, [/tex], [tex]\, c-b\; [/tex] e [tex]\; b-a\, [/tex] estão na lista [tex]\, 2,\, 2,\, 3,\, 4, \, 4,\, 6[/tex].
Mas, por outro lado, [tex](d-c)+(c-b)+(b-a)=d-a=6[/tex] e na lista [tex]\, 2,\, 2,\, 3,\, 4, \, 4,\, 6[/tex] não temos três números cuja soma seja [tex]6[/tex].
Portanto é impossível que a configuração 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
1 comentário
Nosso grupo tinha encontrado uma solução semelhante a 2.
A resposta é não, para justificar vamos fazer algumas suposições. Sem nos esquecer que a diferença de dois números de mesma paridade resulta em um número de paridade par e a diferença entre dois números de paridades diferentes resulta em um número de paridade ímpar.
1. Todos os elementos sejam pares.
Nesse caso não seria possível pois a diferença entre dois elementos desse conjunto seria sempre par.
2. 1 elemento seja ímpar.
Nesse caso não seria possível pois as seis diferenças seriam 3 números impares e 3 pares.
3. 2 elementos sejam impares.
Nesse caso não seria possível pois as seis diferenças seriam 4 números impares e 2 pares.
4. 3 elementos sejam impares.
Nesse caso não seria possível pois as seis diferenças seriam 3 números impares e 3 pares.
5. Todos os elementos sejam impares.
Nesse caso não seria possível pois a diferença entre dois elementos desse conjunto seria sempre par.
Logo não é possível pois não existe nenhum caso que resulte em apenas um número de paridade ímpar.