Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] inteiros satisfazendo [tex]x + y \ne 0[/tex]. Encontre todos os pares [tex](x, y)[/tex] tais que:
Extraído de OMERJ.
Solução
Observe que
[tex]\qquad \dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10,[/tex]
[tex]\qquad x^{2}+y^{2}=10 \cdot (x+y),[/tex]
[tex]\qquad x^{2}+y^{2}=10x+ 10y,[/tex]
[tex]\qquad x^{2}+y^{2}-10x- 10y=0.[/tex]
Adicionando [tex]50[/tex] em ambos os lados da última equação, temos:
[tex]\qquad x^{2}+y^{2}-10x- 10y +50=0 +50,[/tex]
[tex]\qquad x^{2} -10x +25 +y^{2}- 10y +25=50,[/tex]
[tex]\qquad (x-5)^{2} + (y-5)^{2}=50.[/tex]
Portanto, devemos escrever [tex]50[/tex] como soma de [tex]2[/tex] quadrados perfeitos.
Isso pode ser feito de duas maneiras: [tex]50 = 1 + 49[/tex] ou [tex]50 = 25 + 25[/tex].
Devemos ter atenção, pois as bases das potências podem ser negativas.
1º caso: [tex] 50 = 1 + 49[/tex]
[tex]\qquad \begin{cases} x -5 = \pm 1 \\ y- 5= \pm 7 \end{cases}[/tex]; ou
[tex]\qquad \begin{cases} x -5 = \pm 7 \\ y- 5= \pm 1 \end{cases}[/tex]
Note que em cada sistema teremos [tex]4[/tex] soluções.
2º caso: [tex]50 = 25 + 25[/tex]
[tex]\qquad \begin{cases} x -5 = \pm 5 \\ y- 5= \pm 5 \end{cases}[/tex]
Nesse sistema também há [tex]4[/tex] soluções. Contudo, a solução [tex](0,0)[/tex] deve ser excluída.
Assim, [tex]11[/tex] pares de inteiros satisfazem o enunciado:
[tex]\qquad(6,12), (12,6), (6, −2), (−2,6), (4,12), (12,4), (4, −2), (−2,4), (10,10), (10,0), (0,10).[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.