.Problema para ajudar na escola: Vamos somar?

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Some todos os números naturais que tenham três algarismos e sejam da forma [tex] \, n7n.[/tex]
Qual o resultado obtido?
(Aqui, a notação [tex]n7n[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)

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Ajuda

A soma dos [tex]n[/tex] primeiros números naturais não nulos é dada por:
[tex] \qquad \boxed{1+2+3+ \cdots+n=\dfrac{(1+n)\cdot n}{2}}[/tex].

(Para aprender um pouco mais sobre a soma [tex]1+2+3+ \cdots+n[/tex], clique AQUI)

Solução


Vamos colocar os números de três algarismos da forma [tex] \, n7n \, [/tex] um debaixo do outro para somá-los.

[tex]\begin{array}{c c c c}
1 & 7 & 1 & +\\
2 & 7 & 2 & \\
\vdots & \vdots & \vdots & \\
9 & 7 & 9 & \\
\hline
? & ? & ? &
\end{array}[/tex]

  • Na coluna das unidades, faremos a soma [tex]1+2+\cdots+9[/tex]. Utilizaremos a fórmula da Ajuda:
    [tex] \qquad 1+2+ \cdots+9=\dfrac{(1+9)\cdot 9}{2}=\textcolor{red}{45}[/tex].
    (Como são poucas parcelas, poderíamos também ter somado diretamente os nove números.)
    Assim, no esquema da adição, abaixo da coluna das unidades colocamos [tex]\textcolor{red}{5}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{red}{4}[/tex] para a coluna das dezenas.
  • Na coluna das dezenas, faremos a soma [tex]\underbrace{7+7+\cdots+7}_{\text{9 parcelas}}+4:[/tex]
    [tex] \qquad \underbrace{7+7+\cdots+7}_{\text{9 parcelas}}+4=9 \times 7+4=\textcolor{blue}{67}[/tex].
    Logo, no esquema da adição, abaixo da coluna das dezenas colocamos [tex]\textcolor{blue}{7}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{blue}{6}[/tex] para a coluna das centenas.
  • Finalizamos a nossa conta fazendo uma última soma:
    [tex] \qquad 1+2+ \cdots+9+6=45+6=51[/tex].

[tex]\begin{array}{c c c c}
\textcolor{blue}{\underline{6}} & \underline{\textcolor{red}{4}} & \, & \\
1 & 7 & 1 & +\\
2 & 7 & 2 & \\
\vdots & \vdots & \vdots & \\
9 & 7 & 9 & \\
\hline
51& \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{5} &
\end{array}[/tex]

Assim, o resultado final da nossa soma é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5.175$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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