.Problema para ajudar na escola: Vamos somar?

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Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Some todos os números naturais que tenham três algarismos e sejam da forma

$\, n7n.$
Qual o resultado obtido?
(Aqui, a notação

$n7n$ não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)

Ajuda

A soma dos $n$ primeiros números naturais não nulos é dada por:
$\qquad \boxed{1+2+3+ \cdots+n=\dfrac{(1+n)\cdot n}{2}}$ .

(Para aprender um pouco mais sobre a soma $1+2+3+ \cdots+n$ , clique AQUI)

Solução

Vamos colocar os números de três algarismos da forma

$\, n7n \,$ um debaixo do outro para somá-los.

$\begin{array}{c c c c} 1 & 7 & 1 & +\\ 2 & 7 & 2 & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ 9 & 7 & 9 & \\ \hline ? & ? & ? & \end{array}$

Na coluna das unidades, faremos a soma $1+2+\cdots+9$ . Utilizaremos a fórmula da Ajuda:
$\qquad 1+2+ \cdots+9=\dfrac{(1+9)\cdot 9}{2}=\textcolor{red}{45}$ .

Assim, no esquema da adição, abaixo da coluna das unidades colocamos $\textcolor{red}{5}$ e levamos $\textcolor{red}{4}$ para a coluna das dezenas.
Na coluna das dezenas, faremos a soma $\underbrace{7+7+\cdots+7}_{\text{9 parcelas}}+4:$
$\qquad \underbrace{7+7+\cdots+7}_{\text{9 parcelas}}+4=9 \times 7+4=\textcolor{blue}{67}$ .
Logo, no esquema da adição, abaixo da coluna das dezenas colocamos $\textcolor{blue}{7}$ e levamos $\textcolor{blue}{6}$ para a coluna das centenas.
Finalizamos a nossa conta fazendo uma última soma:
$\qquad 1+2+ \cdots+9+6=45+6=51$ .

$\begin{array}{c c c c} \textcolor{blue}{\underline{6}} & \underline{\textcolor{red}{4}} & \, & \\ 1 & 7 & 1 & +\\ 2 & 7 & 2 & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ 9 & 7 & 9 & \\ \hline 51& \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{5} & \end{array}$

Assim, o resultado final da nossa soma é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5.175$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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