.Problema para ajudar na escola: Vamos pintar?

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


Na figura abaixo, qual deve ser o valor de [tex]x[/tex] para que a área pintada de amarelo seja [tex]105 \, cm^2[/tex]?

Solução


Vamos considerar que o valor de [tex]x[/tex] está expresso em centímetros.
Observe que a área pintada de amarelo é a diferença entre a área do quadrado externo, com lados medindo [tex](x+5)[/tex] centímetros, e a área do quadrado interno pintado de verde, cujos lados medem [tex]x[/tex] centímetros.
Assim, segue que:
[tex]\qquad A_{amarelo}=\left(x+5\right)^2-x^2[/tex]
[tex]\qquad 105=\left(x+5\right)^2-x^2[/tex]
[tex]\qquad 105=\cancel{x^2}+10x+25-\cancel{x^2}[/tex]
[tex]\qquad 10x=105-25[/tex]
[tex]\qquad 10x=80[/tex]
[tex]\qquad x=8.[/tex]
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=8 \, cm$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo.
Você pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome, Edge, Firefox, Safari, entre outros), mas também pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader.
Caso o dispositivo que você está utilizando não tenha o Acrobat Reader instalado, é só clicar AQUI para fazer o download adequado ao seu dispositivo.




Um applet para ilustrar


Você poderá utilizar o applet abaixo para visualizar a solução do problema proposto.
Na janela inicial do aplicativo, você visualizará a figura a ser analisada no problema. Nela destacamos o vértice P que poderá ser movimentado verticalmente para modificar o tamanho da figura e, dessa forma, você poderá obter a solução do problema.



Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Movimente o ponto P para conseguir uma área pintada de amarelo de [tex]105 \, cm^2[/tex]. Observe, então, o valor do [tex]x[/tex] correspondente.
(3) Para movimentar o ponto P, basta clicar sobre ele com qualquer botão do mouse, manter o botão pressionado e movimentá-lo lentamente, na vertical. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto P e movimentá-lo verticalmente.)
(4) Você poderá fazer movimentos “mais finos” do ponto P utilizando seu teclado. Para isso:
– Clique sobre P com o botão esquerdo do mouse. Em seguida, mantenha a tecla Shift do teclado apertada e faça os movimentos utilizando as teclas “mover para cima” e “mover para baixo”.
(5) Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

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