.Problema para ajudar na escola: Uma soma angular

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Na figura aparecem um quadrado, um triângulo equilátero e três ângulos identificados por suas medidas em graus [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex].
Determinar [tex]a+b+c[/tex].

explicador_p

Lembretes

Para que você acompanhe a solução deste problema, ajuda lembrar que:

  • Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes e medem [tex]60^{\circ}[/tex] cada.
  • A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é [tex]180^{\circ}[/tex]. (Se precisar, visite esta página.)

Solução


  • Observe inicialmente que, como o triângulo da figura inicial é equilátero, [tex]\boxed{a=60^{\circ}} \, .\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
  • Por outro lado, o triângulo [tex]ABC[/tex] mostrado na figura abaixo é um triângulo retângulo cujos ângulos agudos medem [tex]180^{\circ}-b[/tex] e [tex]180^{\circ}-c[/tex].

Sabemos que a soma dos ângulos internos do triângulo [tex]ABC[/tex] é [tex]180^{\circ}[/tex], portanto:
[tex]\qquad \left(180^{\circ}-b\right)+\left(180^{\circ}-c\right)+90^{\circ}=180^{\circ}[/tex]
[tex]\qquad b+c=180^{\circ}+180^{\circ}+90^{\circ}-180^{\circ}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{b+c=270^{\circ}}. \, \quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad a+b+c=a+(b+c)=60^{\circ}+270^{\circ} \, [/tex],
isto é, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a+b+c=330^{\circ}$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-uma-soma-angular/