.Problema para ajudar na escola: Uma palavra ímpar

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


(Canguru de Matemática Brasil (2016) – Adaptado)
Foi feita uma correspondência entre cada letra da palavra BANDEIRA e um dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de forma que cada letra representa um algarismo e letras diferentes representam algarismos diferentes.
O número BANDEIRA resultante é ímpar e divisível por 3, então qual algarismo corresponde à letra A?

Solução


Vamos supor que o valor da letra A seja [tex]a[/tex].
Observe que o segundo A representa o algarismo das unidades do número representado pela palavra BANDEIRA. Assim, como o número BANDEIRA é ímpar, então

    • [tex]a[/tex] é um algarismo ímpar.

Como [tex]a[/tex] é um número natural não nulo e menor do que [tex]8[/tex], então

    • as possibilidades de valores para [tex]a[/tex] são [tex]1, \, 3, \, 5 \, [/tex] e [tex] \, 7[/tex].

Por outro lado, sabemos que o número BANDEIRA é divisível por [tex]3[/tex] e o critério de divisibilidade por [tex]3[/tex] garante que

      "um número é divisível por [tex]3[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por [tex]3[/tex]";

portanto,

    • a soma [tex] \, \boxed{B+A+N+D+E+I+R+A} \, [/tex] é um número divisível por [tex] 3[/tex].

Mas a palavra BANDEIR tem sete letras distintas; portanto, a soma [tex] B+A+N+D+E+I+R[/tex] é exatamente a soma dos algarismos [tex]1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6 \, [/tex] e [tex] \, 7.[/tex] Como [tex]1+2+3+4+5+6+7=28[/tex], então [tex] \boxed{B+A+N+D+E+I+R=28} \, [/tex] e, com isso:
[tex]\qquad B+A+N+D+E+I+R+A=B+A+N+D+E+I+R+a[/tex]
[tex]\qquad B+A+N+D+E+I+R+A=28+a \, .[/tex]
Sendo [tex] \, \boxed{B+A+N+D+E+I+R+A} \, [/tex] um número divisível por [tex]3[/tex], necessariamente [tex] \, 28+a \, [/tex] é divisível por [tex] 3[/tex]; mas observe que as possibilidades que temos para [tex] \, 28+a \, [/tex] são [tex]28+1=29, \, 28+3=31, \, 28+5=33 \, [/tex] e [tex] \, 28+7=35 \, .[/tex] Porém, desses quatro números, apenas o [tex] \, 33 \, [/tex] é divisível por [tex] 3[/tex]; logo, [tex] \, 28+a=33 \, [/tex], donde [tex] \, a=5 \, .[/tex]
Pelo exposto, concluímos que o algarismo correspondente à letra A é o [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5 $} \, .[/tex]


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