.Problema para ajudar na escola: Uma experiência

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


(UFMG – Adaptado) Em experiências feitas com um ratinho em um laboratório, uma equipe percebeu que, quanto mais o bichinho percorria um labirinto, menos tempo ele levava para fazer o percurso.

A equipe concluiu que, a cada conjunto de tentativas de percorrer o labirinto, o tempo em minutos que o ratinho levava na n-ésima tentativa era dado pela função
[tex]\qquad \qquad t(n)=5+\dfrac{15}{n}.[/tex]
A partir dessa experiência, responda os itens abaixo.
a) Em alguma tentativa, o ratinho conseguiu percorrer o labirinto em menos de cinco minutos?
b) Qual o tempo necessário para o ratinho percorrer o labirinto na quinta tentativa de um conjunto de tentativas?
c) Na décima tentativa, o ratinho gastou 6 minutos e 50 segundos para percorrer o labirinto?
d) Em alguma tentativa, o ratinho percorreu o labirinto em 5 minutos e 30 segundos?

Solução


a) Como [tex]n[/tex] denota o número de tentativas do ratinho em percorrer o labirinto, [tex]n\gt 0.[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \dfrac{15}{n} \gt 0[/tex],
donde
[tex]\qquad t(n)=5+\dfrac{15}{n} \gt 5,[/tex] para qualquer valor natural não nulo [tex]n.[/tex]
Na prática, estamos afirmando que o tempo que o ratinho levou em qualquer tentativa foi de [tex]5[/tex] minutos mais algum tempinho, ou seja, mais de [tex]5[/tex] minutos.
De qualquer modo, em qualquer das tentativas o ratinho NÃO percorreu o labirinto em menos de cinco minutos.

b) Para [tex]n=5[/tex], temos que:
[tex]\qquad \qquad t(5)=5+\dfrac{15}{5}=5+3=8.[/tex]
Assim, o tempo necessário para o ratinho percorrer o labirinto na quinta de um conjunto de tentativas é de [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8\,\text{minutos}$} \, .[/tex]

c) Vamos determinar o tempo que o ratinho levou para percorrer o labirinto na décima de um conjunto de tentativas. Para [tex]n=10[/tex], segue que:
[tex]\qquad \qquad t(10)=5+\dfrac{10}{5}=5+1,5=6,5=6+0,5[/tex] minutos.
Vamos ver o que representa, em segundos, [tex]0,5[/tex] minutos. Sabemos que [tex]1[/tex] minuto representa [tex]60[/tex] segundos, então utilizaremos uma regra de três simples, já que quantidade de minutos e quantidade de segundos são grandezas diretamente proporcionais.

[tex]1[/tex] minuto ————————————– [tex]60[/tex] segundos
[tex]0,5[/tex] minutos ————————————– [tex]x[/tex] segundos

Assim,
[tex]\qquad 1\times x=0,5 \times 60[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad x=30[/tex].
Dessa forma, na décima tentativa o ratinho gastou [tex]6[/tex] minutos e [tex]30[/tex] segundos para percorrer o labirinto, e não [tex]6[/tex] minutos e [tex]50[/tex] segundos.

d) Já sabemos que [tex]0,5[/tex] minutos é equivalente a [tex]30[/tex] segundos; assim, precisamos determinar se, em alguma tentativa [tex]n[/tex], o ratinho percorreu o labirinto em [tex]5,5[/tex] minutos. Para isso, devemos ter:
[tex]\qquad \qquad t(n)=5,5[/tex]
[tex]\qquad \qquad 5+\dfrac{15}{n}=5+0,5[/tex]
[tex]\qquad \qquad \dfrac{15}{n}=0,5[/tex]
[tex]\qquad \qquad n=\dfrac{15}{0,5}[/tex]
[tex]\qquad \qquad n=\dfrac{15 \times 10}{0,5 \times 10}[/tex]
[tex]\qquad \qquad n=\dfrac{150}{5}[/tex]
[tex]\qquad \qquad n=30.[/tex]
Portanto, o ratinho percorreu o labirinto em [tex]5[/tex] minutos e [tex]30[/tex] segundos na tentativa número [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$30$}[/tex] .


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