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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Na figura abaixo, vemos o gráfico da função quadrática assim definida: f(x)=x2+bx+c.
Determine f(8).
Lembretes para Solução 1
(1) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de x e o coeficiente de x2, ou seja, a soma das raízes da equação ax2+bx+c=0 é dada por −ba.
(2) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente c e o seu coeficiente de x2, o que implica dizer que o produto das raízes da equação ax2+bx+c=0 é dado por ca.
(Para conhecer um pouco mais sobre as relações de Girard, cliquem AQUI.)
Solução 1
Observando o gráfico da função f, vemos que f(b)=f(4)=0, ou seja, os números b e 4 são raízes da equação do segundo grau x2+bx+c=0.
Utilizando, então, as relações de Girard para a soma e para o produto de raízes de uma equação do segundo grau, temos:
b+4=−b1=−b e b⋅4=c1=c,
de onde obtemos b=−2 e c=−8.
Com isso, a expressão que define a função f é
f(x)=x2−2x−8;
fazendo x=8, segue que:
f(8)=82−2⋅8−8=40.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Lembretes para Solução 2
(1) O gráfico de uma função quadrática h:R→R dada por h(x)=ax2+bx+c,a≠0, é uma parábola com diretriz paralela ao eixo Ox, eixo de simetria paralelo ao eixo Oy, sendo sua concavidade voltada para cima se a>0 e voltada para baixo se a<0.
(2) Se Δ=b2−4ac, as coordenadas do vértice da parábola do gráfico de h são dadas por:
(xv,yv)=(−b2a,−Δ4a),
sendo que xv=−b2a e yv=−Δ4a indicam, respectivamente:
✓ o ponto de mínimo e o valor mínimo da função h, se a concavidade estiver voltada para cima;
✓ o ponto de máximo e o valor máximo da função h, se a concavidade estiver voltada para baixo.
Particularmente, se Δ>0, xv é a média entre as duas raízes de h: xv=r1+r22
Visualizem as informações fornecidas no lembrete (2), se Δ>0,
clicando no botão abaixo.
Solução 2
Observando o gráfico da função dado no problema, vemos que os números b e 4 são raízes (ou os zeros) da função f e, como a coordenada xv do vértice do gráfico de f é a média dessas raízes, segue que
xv=b+42
−b2=b+42
−b=b+4
−2b=4
e, então, b=−2.
Dessa forma, podemos reescrever a expressão que define f como f(x)=x2−2x+c.
Mas sabemos que 4 é uma raiz (ou o zero) da função f, assim:
f(4)=0
42−2⋅4+c=0
16−8+c=0
e, então c=−8.
Dessa forma, a expressão que define a função f é f(x)=x2−2x−8 e, portanto, f(8)=82−2⋅8−8=40.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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