.Problema para ajudar na escola: Um triângulo transformado

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

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De cada uma das três pontas de um triângulo equilátero de lados medindo $8\, cm$, foram recortados três pequenos triângulos equiláteros de mesmo tamanho, de modo que a soma dos perímetros dos três triângulos pequenos fosse igual ao perímetro do hexágono resultante (que aparece colorido na figura).
Qual o comprimento, em centímetros, de cada lado dos triângulos pequenos que foram recortados?

A figura não é proporcional aos dados do problema.

Solução

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O comprimento dos lados do triângulo equilátero original era $8\, cm\,$. Assim, se $l$ for o comprimento dos lados dos triângulos menores, então os lados maiores do hexágono colorido na figura de referência abaixo terão comprimento $\boxed{8-2l}$ cada.

Como a soma dos perímetros dos três triângulos pequenos é igual ao perímetro do hexágono, segue que:
$\qquad 3\times(l+l+l)=3l+3\times(8-2l)$
$\qquad 9l=3l+24-6l$
$\qquad 12l=24$
$\qquad \boxed{l=\dfrac{24}{12}=2}\, .$
Dessa forma, o comprimento de cada lado dos triângulos pequenos que foram recortados é $\, \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$2\, cm$}\, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.