.Problema para ajudar na escola: Um teste

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


O professor Renato aplicou um teste com [tex] 60[/tex] questões e atribuiu [tex](3)[/tex] pontos para cada resposta correta e [tex] (-1) [/tex] para cada resposta errada.
O número de acertos da aluna Mari foi igual ao número de erros do aluno José e o número de acertos de José foi igual ao número de erros da Mari. Ambos responderam as [tex]60[/tex] questões e Mari obteve o dobro da pontuação de José.

Qual a pontuação da Mari? E a do José?

Solução


Sejam [tex]m[/tex] o número de acertos da Mari e [tex]n[/tex] o número de acertos do José.
Assim, pelos dados do problema, no teste aplicado pelo professor Renato:

  • a Mari acertou [tex]m[/tex] questões e errou [tex]n[/tex] e sua pontuação foi [tex]\boxed{M=3m-n}[/tex];
  • o José acertou [tex]n[/tex] questões e errou [tex]m[/tex] e sua pontuação foi [tex]\boxed{J=3n-m}.[/tex]

Dessa forma, como a Mari obteve o dobro da pontuação de José, segue que:
[tex]\qquad \qquad M=2J\\
\qquad \qquad 3m-n=2(3n-m)\\
\qquad\qquad 3m-n=6n-2m\\
\qquad\qquad 3m+2m=6n+n\\
\qquad \qquad 5m=7n \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

Observe ainda que o teste tinha [tex] 60[/tex] questões e tanto a Mari como o José responderam todas as [tex]60[/tex] questões; assim, podemos garantir que [tex]m+n=60[/tex], donde [tex]m=60-n.[/tex]
Substituindo essa última igualdade em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad \qquad 5(60-n)=7n\\
\qquad \qquad 300-5n=7n\\
\qquad \qquad 300=7n+5n\\
\qquad \qquad 300=12n\\
\qquad \qquad n=\dfrac{300}{12}=25.[/tex]
Mas [tex]m+n=60[/tex]; logo,
[tex]\qquad \qquad m=60-25=35.[/tex]
Finalmente, podemos calcular as pontuações da Mari e do José:

Mari
[tex]\qquad M=3m-n=3 \times 35-25= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80$} \, [/tex];
José
[tex]\qquad J=3n-m=3 \times 25-35= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40$} \, [/tex].

A pontuação de José também poderia ser obtida lembrando que ela foi a metade da pontuação da Mari: [tex]\dfrac{80}{2}=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40$} \, .[/tex]


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