.Problema para ajudar na escola: Um retângulo dividido

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Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)

Um retângulo foi dividido em quatro retângulos menores, traçando-se linhas paralelas aos seus lados. Dos quatro retângulos formados, foram dados os perímetros de três, conforme mostra a figura abaixo.

p46 Observação: A figura não está em escala.

Qual é o perímetro do quarto retângulo?

Solução

Indiquemos as medidas dos lados dos retângulos em questão por

$a, \, b, \, y, \, x$ , conforme figura a seguir.

De acordo com os dados do problema, temos que:

$2b+2a=2;$

$2x+2y=2;$

$2a+2x=1.$

Dessa forma, multiplicando-se as equações acima por $2, \,$ $2, \,$ e $\, \frac{1}{2}, \,$ respectivamente, segue que:

$b+a=1;\qquad \color{#800000}(i)$

$x+y=1;\qquad \color{#800000}(ii)$

$a+x=\frac{1}{2}.\qquad \color{#800000}(iii)$

Como o perímetro do quarto retângulo é $P=2b+2y$ , basta calcularmos $b+y$ .
Vamos lá!
Inicialmente, perceba que:
$\qquad b+y=\left(b+a-a\right)+\left(y+x-x\right),$
logo,
$\qquad b+y=\left(b+a\right)+\left(x+y\right)-\left(a+x\right).$
Agora, da soma das equações $\color{#800000}(i)$ , $\color{#800000}(ii)$ e $\color{#800000}(iii)$ , segue que:
$\qquad b+y=1+1-\dfrac{1}{2}$
$\qquad b+y=\dfrac{3}{2},$

e, assim, o perímetro do quarto retângulo é

$\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, P=2b+2y=2(b+y)=2 \times \dfrac{3}{2}=3 \, unidades \, de \, comprimento.$}$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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