.Problema para ajudar na escola: Um problema de dívidas

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Rob emprestou [tex]810 [/tex] reais a cada um de seus amigos Bru, Drica e Jú, com a única condição de que cada um devolva os seus [tex]810 [/tex] reais, na sua totalidade.
Atualmente, a dívida do Bru é o triplo da dívida da Drica e o dobro da dívida da Jú. O valor que Bru já pagou está para o valor que Jú já pagou assim como [tex]3[/tex] está para [tex]4[/tex].
Qual a dívida atual dos três amigos?

Solução


Vamos considerar que [tex]B[/tex], [tex]D[/tex] e [tex]J[/tex] sejam as dívidas atuais de Bru, Drica e Jú, respectivamente.

Assim, pelos dados do problema, temos que:

[tex]B=3D=2J. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

Sabemos também que o valor que Bru já pagou está para o valor que Jú já pagou assim como [tex]3[/tex] está para [tex]4[/tex], isto é:

[tex]\dfrac{810-B}{810-J}=\dfrac{3}{4}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]B=2J[/tex]; substituindo esse valor em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:

[tex]\qquad \dfrac{810-2J}{810-J}=\dfrac{3}{4}\\
\qquad 4 \times(810-2J)=3 \times(810-J)\\
\qquad 3240-8J=2430-3J\\
\qquad 3240-2430=8J-3J\\
\qquad 5J=810\\
\qquad J=162.\\[/tex]
A partir desse valor, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], concluímos que:
[tex]\qquad B=2J[/tex]
[tex]\qquad B=2 \times 162[/tex]
[tex]\qquad B=324[/tex]
e também que:
[tex]\qquad 3D=2J[/tex]
[tex]\qquad 3D=2 \times 162[/tex]
[tex]\qquad 3D=324[/tex]
[tex]\qquad D=108.[/tex]
Dessa forma, são estas as dívidas atuais dos três amigos:

  • Bru: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\, 324,00$} \, [/tex],
  • Drica: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\, 108,00$} \, [/tex],
  • Jú: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\, 162,00$} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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