Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(XXI OPM, 2003 – adaptado) Dois algarismos [tex]\square[/tex] e [tex]\triangle[/tex] saíram para passear.
Andando sempre a uma velocidade constante,
- às [tex]14[/tex] horas eles já tinham percorrido [tex]\square \triangle[/tex] metros;
- às [tex]14[/tex] horas e [tex]42[/tex] minutos, tinham percorrido [tex]\triangle \square[/tex] metros;
- e, às [tex]15[/tex] horas, [tex]\square 0 \triangle[/tex] metros.
Sabendo-se que no número [tex]\square 0 \triangle[/tex] o algarismo das dezenas é zero, mas o das centenas não, a que horas começou o passeio?
Notação
As multiplicações serão indicadas por [tex] \, \cdot \, [/tex] e algarismos justapostos indicarão dígitos de um dado número natural.
Por exemplo,
- [tex]\square \triangle[/tex] indica o número cujo algarismo da unidade é [tex] \triangle[/tex] e o da dezena é [tex]\square.[/tex]
- [tex]\square \cdot \triangle[/tex] indica o produto entre os algarismos [tex] \square[/tex] e [tex]\triangle.[/tex]
- [tex]10 \triangle-1\triangle[/tex] é a diferença entre o número de três dígitos [tex]10 \triangle[/tex] e o número de dois dígitos [tex]1\triangle .[/tex] Veja:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c c}
1&0 &\triangle&-\\
&1 &\triangle&\\
\hline
&9 &0&
\end{array}[/tex]
Solução
- Pelas informações do problema, observe que [tex]\,\square \triangle \lt \triangle \square \lt \square 0 \triangle \, .[/tex]
- Perceba também que [tex]\square=1[/tex]; pois se [tex]\square \gt 1[/tex], então teríamos [tex]\square 0 \triangle – \triangle \square \gt 100 [/tex] o que não é possível já que, como [tex]\triangle \square-\square \triangle[/tex] é menor do que [tex]100[/tex], em [tex]18[/tex] minutos ter-se-ia percorrido uma distância maior do que a percorrida em [tex]42[/tex] minutos, conforme podemos ver na figura abaixo.
- Como [tex]\square=1[/tex], observe que em uma hora, das 14 às 15 horas, foram percorridos
[tex]\quad (\triangle 1-1\triangle)+(10 \triangle-\triangle 1)=10 \triangle-1\triangle=90[/tex] metros.
- Assim, em [tex]42[/tex] minutos quantos metros foram percorridos?
Como a velocidade ao longo do percurso foi constante, uma regrinha de três nos dá a resposta dessa pergunta. Observe:
| [tex]60 \, [/tex] minutos | —————————- | [tex]90 \, [/tex] metros |
| [tex]42 \, [/tex] minutos | —————————- | [tex]D[/tex] metros |
Temos, então, que [tex]D \times 60=42\times 90[/tex]; donde [tex]D =\dfrac{42\times 90}{60}[/tex] ou, ainda, [tex]\boxed{D =63 \, m} \, .[/tex]
Observe que [tex]\boxed{\triangle 1=10\cdot \triangle +1}[/tex] e que [tex]\boxed{1\triangle= 10+\triangle} \, [/tex]; dessa forma, sendo [tex]\triangle 1-1\triangle= 63[/tex], segue que:
[tex]\qquad \triangle 1-1\triangle= 63[/tex]
[tex]\qquad (10\cdot \triangle +1)-(10+\triangle)= 63[/tex]
[tex]\qquad (10\cdot \triangle-\triangle)+(1-10)= 63[/tex]
[tex]\qquad 9\cdot \triangle -9= 63[/tex]
[tex]\qquad 9\cdot (\triangle -1)= 63[/tex]
[tex]\qquad \triangle -1=\dfrac{63}{9}[/tex]
[tex]\qquad \triangle -1= 7[/tex]
[tex]\qquad \triangle =8.[/tex]
Portanto, ficamos com o seguinte esqueminha:
Finalmente, estamos prontos para responder à pergunta do problema e o esqueminha acima nos ajuda a armar mais uma regra de três simples:
se em [tex]60[/tex] minutos foram percorridos [tex]63+27=90[/tex] metros, então em quantos minutos foram percorridos [tex]18[/tex] metros?
Vejamos:
| [tex]60 \, [/tex] minutos | —————————- | [tex]90 \, [/tex] metros |
| [tex]N[/tex] minutos | —————————- | [tex]18[/tex] metros |
Note que [tex]18 \times 60=N\times 90[/tex], logo [tex]N =\dfrac{18\times 60}{90}=12[/tex] minutos.
Consequentemente, o passeio teve início às [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \text{13 horas e 48 minutos}$} \, .[/tex]
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