.Problema para ajudar na escola: Um octógono regular

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Cada um dos lados do octógono regular mostrado na figura mede [tex]2\, cm[/tex].
Qual a diferença, em centímetros quadrados, entre a área da região sombreada e a área da região não sombreada?

Solução


  • Seja [tex]\textcolor{red}{Q}[/tex] a região central do octógono delimitada pelo quadrado de lados com comprimentos [tex]2\, cm\, [/tex], conforme mostrado abaixo. Observe que podemos dividir essa região a partir de quatro triângulos retângulos isósceles congruentes com hipotenusas medindo [tex]2\, cm[/tex]. Vamos denotar a área de cada um desses triângulos por [tex]A\, [/tex], conforme indicado abaixo, na figura da direita.

  • Perceba que temos mais quatro triângulos retângulos isósceles com hipotenusas medindo [tex]2\, cm[/tex] e a área [tex]A\, [/tex], conforme ilustra a próxima figura.

  • Por último, veja que também temos definidos quatro retângulos de lados [tex]2\, cm\, [/tex] e [tex]\, \sqrt{2}\, cm[/tex] (dois na região sombreada e dois na não sombreada), cujas áreas estão indicadas por [tex]B[/tex] na próxima figura.

Dessa forma, tanto a área da região sombreada como a da não sombreada é [tex]\boxed{4A+2B}[/tex] e, portanto, a diferença entre essas duas áreas é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0\, cm^2$}\, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Gincana de 2017 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível B – Questão Média

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