.Problema para ajudar na escola: Um número natural disfarçado…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


(ONEM, 2004) Para [tex]\boxed{a=\sqrt{23}+ \sqrt{29}}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{b=\sqrt{23}- \sqrt{29}}\,[/tex] a soma

[tex]S=\dfrac{\sqrt{23}\left(ab+10 \right)}{a+b}+\dfrac{b+2\sqrt{29}}{a}[/tex]

é um número natural.
Que número é esse?

explicador_p

Lembrete

Diferença de dois quadrados:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)}[/tex]
para quaisquer [tex]\, a,b\in\mathbb{R}.[/tex]

Solução


Para facilitar os cálculos, observe que:

  • [tex]a+b=\left(\sqrt{23}+ \sqrt{29}\right)+ \left(\sqrt{23}- \sqrt{29}\right)=2\sqrt{23}[/tex]

e, pelo Lembrete,

  • [tex]ab=\left(\sqrt{23}+ \sqrt{29}\right)\cdot \left(\sqrt{23}- \sqrt{29}\right)=\left(\sqrt{23}\right)^2- \left(\sqrt{29}\right)^2=23-29=-6.[/tex]

Assim, segue que:
[tex]\qquad S=\dfrac{\sqrt{23}\left(ab+10 \right)}{a+b}+\dfrac{b+2\sqrt{29}}{a}\\
\qquad S=\dfrac{\cancel{\sqrt{23}}\left(-6+10 \right)}{2\,\cancel{\sqrt{23}}}+\dfrac{\left(\sqrt{23}- \sqrt{29}\right)+2\sqrt{29}}{\sqrt{23}+ \sqrt{29}}\\
\qquad S=\dfrac{4}{2}+\dfrac{\sqrt{23}+\sqrt{29}}{\sqrt{23}+ \sqrt{29}}\\
\qquad S=2+1=3.[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=\dfrac{\sqrt{23}\left(ab+10 \right)}{a+b}+\dfrac{b+2\sqrt{29}}{a}=3$}[/tex] .


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