.Problema para ajudar na escola: Um encontro…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


A distância entre as rodoviárias das cidades [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] é de [tex] 350 \, km[/tex].
Às [tex]6[/tex] horas da manhã, parte da rodoviária da cidade [tex]C_1[/tex] um ônibus com destino à rodoviária da cidade [tex]C_2[/tex], e parte da rodoviária da cidade [tex]C_2[/tex] um outro ônibus com destino à rodoviária da cidade [tex]C_1[/tex].
Esses ônibus vão trafegar pela mesma estrada, sem paradas, e com velocidades distintas:

  • o que vai de [tex]C_1[/tex] para [tex]C_2[/tex] irá a uma velocidade constante de [tex]80 \, km[/tex] por hora;
  • o que vai de [tex]C_2[/tex] para [tex]C_1[/tex] irá a uma velocidade constante de [tex]60 \, km[/tex] por hora.

A que horas esses ônibus passarão um pelo outro na estrada?
Qual a distância percorrida por cada um, desde a saída da rodoviária até o momento do encontro?

Lembrete

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Quando um objeto está em movimento, ele muda de posição ao longo do percurso. A velocidade desse objeto é definida levando-se em consideração o espaço que ele percorreu em um determinado intervalo de tempo, ou seja, velocidade é a grandeza que mede quão rápido um objeto se desloca.
Se conhecermos a extensão do percurso e o tempo gasto pelo objeto para percorrê-lo, podemos dividir o espaço percorrido pelo tempo total de percurso e a esse quociente chamamos velocidade média do objeto.
Se a velocidade de um objeto é constante, ela é igual à velocidade média do objeto nesse movimento, ou seja:

[tex]\boxed{\text{velocidade}=\frac{\text{distância percorrida}}{\text{tempo gasto}}}[/tex].

Chamando a velocidade de [tex]v[/tex], a distância percorrida de [tex]d[/tex] e o tempo gasto de [tex]t[/tex], temos [tex]\boxed{v=\frac{d}{t}}[/tex] e, nesse caso, [tex]\boxed{d=v\times t}[/tex].
É importante darmos atenção às unidades de medida. Se, por exemplo, a velocidade é em quilômetros/hora, a distância é em quilômetros e o tempo é em horas.

Solução


Vamos supor que os ônibus passarão um pelo outro na estrada [tex]t[/tex] horas depois de partirem de suas respectivas rodoviárias. Como o espaço percorrido é igual ao produto da velocidade média pelo tempo gasto no percurso, então:

  • o espaço percorrido pelo ônibus que partiu de [tex]C_1[/tex] até o ponto de encontro [tex]E[/tex] será [tex]e_1=80 \cdot t[/tex];
  • o espaço percorrido pelo ônibus que partiu de [tex]C_2[/tex] até o ponto de encontro [tex]E[/tex] será [tex]e_2=60 \cdot t[/tex].

Observe que o espaço percorrido [tex]e_1[/tex] mais o espaço percorrido [tex]e_2[/tex] é igual a [tex]350 \, km[/tex]; assim:
[tex]\qquad e_1+e_2=350\\
\qquad 80 \cdot t+60 \cdot t=350\\
\qquad 140 \cdot t=350\\
\qquad t=\dfrac{350}{140}\\
\qquad t=2,5 \, h,[/tex]
ou seja, os ônibus passarão um pelo outro depois de duas horas e meia de suas respectivas partidas.
Já podemos responder as duas perguntadas formuladas no problema.

A hora do encontro
Como os dois ônibus partem de suas rodoviárias às seis horas da manhã e transcorrem duas horas e meia até o encontro, os ônibus passarão um pelo outro na estrada às oito e meia da manhã.

A distância percorrida por cada ônibus

  • espaço percorrido pelo ônibus que partiu de [tex]C_1[/tex] até o ponto de encontro:
  • [tex]\qquad e_1=80 \cdot 2,5=200 \, km \, .[/tex]

  • espaço percorrido pelo ônibus que partiu de [tex]C_2[/tex] até o ponto de encontro:
    [tex]\qquad e_2=60 \cdot 2,5=150 \, km \, [/tex].

Assim, o ônibus que partiu da cidade [tex]C_1[/tex] percorreu [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$200 \, km$} \, [/tex] até o ponto de encontro e o que partiu da cidade [tex]C_2[/tex] percorreu [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$150 \, km$} \, .[/tex]


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