.Desafio – Quanto mede a área do hexágono? – Clubes de Matemática da OBMEP

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(XXXIX Olimpíada de Matemática Espanhola– 2003) Quais são as possibilidades para a medida da área de um hexágono que tem todos os ângulos internos com a mesma medida e cujos lados medem, em centímetros, $1,2,3,4,5,6$ , não necessariamente nessa ordem?

Lembretes

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados $(n\gt 2)$ é dada por:
$\qquad \qquad \boxed{S_{i_n}=\left(n-2\right)\cdot 180^\circ}.$
Resista à tentação de pensar que se um polígono é equiângulo (tem todos os ângulos internos com a mesma medida), então ele necessariamente é equilátero (tem todos os lados com a mesma medida).(Por exemplo, um retângulo não quadrado é um polígono equiângulo, mas não equilátero.)
A área de um triângulo equilátero de lados com comprimento $x$ é dada por:
$\qquad A_{teq}=\dfrac{x^2\cdot\sqrt{3}}{4}.$
(Por falar em área de triângulo equilátero, visite esta Sala para leitura.)

Solução

Vamos resolver o problema utilizando ferramentas matemáticas nada complicadas. Ele foi colocado como um desafio, pois envolve um tipo de raciocínio não muito comum.
Este é um daqueles problemas que, depois de resolvido, não é nada difícil entendermos a sua solução. Na verdade, este é um típico problema olímpico. Vamos lá, tentaremos fazer uma solução bem explicadinha…

Sejam $a,b,c,d,e\,$ e $\, f$ os comprimentos dos lados do hexágono em questão.
Com isso,
$\qquad \qquad a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21.$
Como esse hexágono tem todos os ângulos internos com a mesma medida, ele não pode ser côncavo. Sendo convexo, a soma dos ângulos internos desse hexágono é
$\qquad \qquad S_{i_6}=\left(6-2\right)\cdot 180^\circ= 720^\circ$
e, portanto, cada um de seus ângulos internos mede $\dfrac{720^\circ}{6}=120^\circ\,$ , conforme ilustra a figura ao lado.
Dessa forma, podemos prolongar os lados desse hexágono e formar um grande triângulo equilátero! (Este é o "pulo do gato"!)

Com efeito, como os ângulos internos medem todos $120^\circ\,$ , então seus respectivos suplementos medem $60^\circ\,$ e, portanto, definem três triângulos equiláteros pequenos. Isso faz com que o triângulo externo seja também equilátero, pois terá três ângulos de $60^\circ\,$ .

Seja, então, $l$ o comprimento de cada lado do triângulo externo que construímos. Assim, $l = a + b + c = c + d + e = e + f + a$ e, portanto:
$\qquad (a + b + c)+(c + d + e)+( e + f + a)=3l$
$\qquad (a + b + c+ d + e + f)+(a+c+e)=3l$
$\qquad 21+(a+c+e)=3l$
$\qquad \boxed{l=7+\dfrac{a+c+e}{3}}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Como os lados do hexágono medem $1,2,3,4,5$ e $6$ centímetros, o menor valor que a soma $a+c+e$ pode assumir é $1+2+3=6$ e o maior é $4+5+6=15$ . Logo, temos que:
$\qquad 2 \leqslant \dfrac{a+c+e}{3} \leqslant 5$
$\qquad 7+ 2 \leqslant 7+\dfrac{a+c+e}{3} \leqslant 7+5$
$\qquad 9 \leqslant 7+\dfrac{a+c+e}{3} \leqslant 12$
ou seja, $9 \leqslant l \leqslant 12\, .$
Vamos ter que analisar cada um desses quatro casos; e em cada análise, para efeito dos cálculos que faremos, nos interessará especificamente as medidas dos lados dos três triângulos equiláteros menores.

Caso 1:

$l=9$
Neste caso, por

$\textcolor{#800000}{(i)}$ , temos

$a+c+e=6$ .
Como

$a+b+c+d+e+f=21$ , segue que

$b+d+f=15$ . Como a soma

$6$ é a mínima possível e a soma

$15$ é a máxima possível, então

$a,c,e \in \{1,2,3\}$ e

$b,d,f,\in \{4,5,6\}$ . Assim, os lados dos triângulos equiláteros menores medem

$1,\, 2\,$ e

$\, 3$ centímetros. Perceba que não importa a ordem em que escolhemos os valores de

$a,c,e$ , dentre os apresentados; pois para escolhas diferentes obteríamos o mesmo hexágono, apenas em uma posição diferente. Logo, sem perda de generalidade, podemos fazer:

$a=1;\, c=2;\, e=3$ .

Caso 2:

$l=10$
Neste caso, por

$\textcolor{#800000}{(i)}$ , temos

$a+b+c=9$ . Mais uma vez, como

$a+b+c+d+e+f=21$ , segue que

$d+e+f=12.$
Aqui as escolhas para os valores de

$a,b,c,d,e,f$ serão um pouco mais complicadas.
A princípio, como os valores de

$a,c,e$ são distintos, temos que

$a,c,e \in \{1,2,6\}$ ,

$a,c,e \in \{1,3,5\}$ ou

$a,c,e \in \{2,3,4\}.$
Dessa forma, aqui temos três possibilidades:
►

$a,c,e \in \{1,2,6\}\,$ e

$\, b,d,f,\in \{3,4,5\}$
►

$a,c,e \in \{1,3,5\}\,$ e

$\, b,d,f,\in \{2,4,6\}$
►

$a,c,e \in \{2,3,4\}\,$ e

$\, b,d,f,\in \{1,5,6\}$

No primeiro caso, para o lado no qual teríamos segmentos de comprimentos

$1$ e

$2$ centímetros, necessitaríamos de um segmento de comprimento

$7$ centímetros para definir um dos lados do triângulo externo, o que não é possível.

No terceiro caso, para o lado no qual teríamos segmentos de comprimentos

$2$ e

$4$ centímetros, necessitaríamos de um segundo segmento de comprimento

$4$ centímetros para definir um dos lados do triângulo externo, o que não é possível, já que os seis segmentos têm comprimentos diferentes.

Assim, $a,c,e \in \{1,3,5\}\,$ e, sem perda de generalidade, podemos fazer:

$a=1;\, c=3;\, e=5.$

Caso 3:

$l=11$
Neste caso, por

$\textcolor{#800000}{(i)}$ , temos

$a+c+e=12$ . Mais uma vez, como

$a+b+c+d+e+f=21$ , segue que

$b+d+f=9.$
Aqui as escolhas para os valores de

$a,b,c,d,e,f$ também não serão feitas diretamente.
Inicialmente, para os valores de

$a,c,e$ teremos

$a,c,e \in \{1,5,6\}$ ,

$a,c,e \in \{2,4,6\}$ ou

$a,c,e \in \{3,4,5\}.$
Dessa forma, aqui temos três possibilidades:
►

$a,c,e \in \{1,5,6\}\,$ e

$\, b,d,f,\in \{2,3,4\}$
►

$a,c,e \in \{2,4,6\}\,$ e

$\, b,d,f,\in \{1,3,5\}$
►

$a,c,e \in \{3,4,5\}\,$ e

$\, b,d,f,\in \{1,2,6\}$

No primeiro caso, para o lado no qual teríamos segmentos de comprimentos

$5$ e

$6$ não utilizaríamos um terceiro segmento, já que

$5+6=11$ , o que não é possível.

No terceiro caso, para o lado no qual teríamos segmentos de comprimentos

$3$ e

$4$ centímetros, necessitaríamos de um segundo segmento de comprimento

$4$ centímetros para definir um dos lados do triângulo externo, o que não é possível, já que os seis segmentos têm comprimentos diferentes.

Assim, $a,c,e \in \{2,4,6\}\,$ e,sem perda de generalidade, podemos fazer:

$a=2;\, c=4;\, e=6.$

Caso 4:

$l=12$
Neste caso, por

$\textcolor{#800000}{(i)}$ , temos

$a+c+e=15.$
Como

$a+b+c+d+e+f=21$ , segue que

$b+d+f=6.$ Como a soma

$6$ é a mínima possível e a soma

$15$ é a máxima possível, então

$a,c,e \in \{4,5,6\}$ e

$b,d,f,\in \{1,2,3\}$ . Sem perda de generalidade, podemos fazer:

$a=4;\, c=5;\, e=6.$

A partir dos quatro casos de comprimentos possíveis para os lados do hexágono, podemos finalmente calcular as possibilidades para a medida da sua área. Para tanto, observe que a medida da área do hexágono é a diferença entre a "medida da área do triângulo maior" e a "soma das medidas das áreas dos três triângulos menores ".

Assim, se $A_t$ é a medida da área do triângulo maior, então $\boxed{\textcolor{#993300}{A_h}=A_t-\left(\textcolor{#ff6600}{A_1}+\textcolor{#7f00ff}{A_2}+\textcolor{#009900}{A_3} \right)}\, .$ Utilizando a fórmula do , segue que:
$\qquad \qquad \textcolor{#993300}{A_h}=A_t-\left(\textcolor{#ff6600}{A_1}+\textcolor{#7f00ff}{A_2}+\textcolor{#009900}{A_3} \right)$
$\qquad \qquad \textcolor{#993300}{A_h}=\dfrac{l^2\cdot\sqrt{3}}{4}-\left(\textcolor{#ff6600}{\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}}+\textcolor{#7f00ff}{\dfrac{c^2\cdot\sqrt{3}}{4}}+\textcolor{#009900}{\dfrac{e^2\cdot\sqrt{3}}{4}} \right)$
$\qquad \qquad \textcolor{#993300}{A_h}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(l^2-\textcolor{#ff6600}{a^2}-\textcolor{#7f00ff}{c^2}-\textcolor{#009900}{e^2} \right).$
A tabela abaixo mostra os resultados dos cálculos da área do hexágono nos quatro casos possíveis analisados.

$\begin{array}{c|c|c|c|c} l& \textcolor{#ff6600}{a} & \textcolor{#7f00ff}{c} & \textcolor{#009900}{e} & \textcolor{#993300}{A_h}\\ \hline 9\, cm & \textcolor{#ff6600}{1\, cm} & \textcolor{#7f00ff}{2\, cm} & \textcolor{#009900}{3\, cm} & \textcolor{#993300}{\, \dfrac{67\sqrt{3}}{4}\, cm^2}\\ \hline 10\, cm & \textcolor{#ff6600}{1\, cm} & \textcolor{#7f00ff}{3\, cm} & \textcolor{#009900}{5\, cm} & \textcolor{#993300}{\, \dfrac{65\sqrt{3}}{4}\, cm^2}\\ \hline 11\, cm & \textcolor{#ff6600}{2\, cm} & \textcolor{#7f00ff}{4\, cm} & \textcolor{#009900}{6\, cm} & \textcolor{#993300}{\, \dfrac{65\sqrt{3}}{4}\, cm^2}\\ \hline 12\, cm & \textcolor{#ff6600}{4\, cm} & \textcolor{#7f00ff}{5\, cm} & \textcolor{#009900}{6\, cm} & \textcolor{#993300}{\, \dfrac{67\sqrt{3}}{4}\, cm^2}\\ \hline \end{array}$

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