.Problema para ajudar na escola: Um cubo cortado

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


Seu João é um marceneiro muito caprichoso e gosta de fazer peças de decoração.
Ontem mesmo ele pegou um cubo de madeira, fez cortes paralelos a três de suas faces e produziu a peça mostrada na figura.
Se o volume do cubo original era [tex]2\,744 \, cm^3[/tex], qual a superfície total da peça produzida por seu João?

Solução


A peça de decoração manteve três faces do cubo original e tem seis outras faces que são duas a duas paralelas a uma dessas três faces originais.
Vamos nomear essas seis faces, de acordo com a próxima figura.

  • Utilizando a figura abaixo, observe que, se unirmos as faces [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2 \, [/tex], obtemos uma face do cubo original.


De forma análoga:

  • se unirmos as faces [tex]B_1[/tex] e [tex]B_2 \, [/tex], obtemos uma face do cubo original.
  • se unirmos as faces [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2 \, [/tex], obtemos também uma face do cubo original.

Dessa forma, podemos concluir que

a superfície total da peça produzida por seu João é igual a superfície total do cubo original.

Vamos, então, calculá-la!

    • Sabendo que o volume do cubo original era [tex]2\,744 \, cm^3 \, [/tex], cada lado desse cubo media [tex]\sqrt[3]{2\,744}=\boxed{14 \, cm} \, .[/tex]
      Com isso, a área de cada face era [tex]14 \times 14=\boxed{196 \, cm^2} \, [/tex] e, consequentemente, a superfície total do cubo era [tex]6 \times 196=\boxed{1 \, 176 \, cm^2} \, .[/tex]

Por tudo que foi exposto, a superfície total da peça produzida por seu João é [tex] \, \fcolorbox{black}{#e1d3ba}{$1\,176 \, cm^2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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