.Problema para ajudar na escola: Três números

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Para quantos números naturais [tex]n[/tex] os números [tex]2\cdot n \, [/tex] e [tex] \, \dfrac{n}{2}[/tex] têm três algarismos?

Solução


O primeiro número com três algarismos é o [tex]100[/tex] e, o último, [tex]999[/tex].
Assim, como os números [tex]2\cdot n \, [/tex] e [tex] \, \dfrac{n}{2}[/tex] têm três algarismos, temos

[tex]\qquad \qquad 100 \leqslant 2\cdot n \leqslant 999\qquad [/tex] e [tex]\qquad 100 \leqslant \dfrac{n}{2} \leqslant 999[/tex]
ou ainda:
[tex]\qquad \qquad 100 \leqslant 2\cdot n \lt 1000\qquad [/tex] e [tex]\qquad 100 \leqslant \dfrac{n}{2} \leqslant 999.[/tex]
Dessa forma,
[tex]\qquad \qquad \boxed{50 \leqslant n \lt 500} \qquad [/tex] e [tex]\qquad \boxed{200 \leqslant n \leqslant 1998} \, [/tex]
e podemos, então, concluir que
[tex]\qquad \qquad 200 \leqslant n \lt 500 \, [/tex],
ou ainda,
[tex]\qquad \qquad \boxed{200 \leqslant n \leqslant 499} \, .[/tex]

Agora é só calcular quantos números naturais temos na sequência [tex]200, \, 201, \, 202, \, \cdots \, 498, \, 499[/tex] e também observar que o número [tex]n[/tex] deve ser par, para que [tex]\dfrac{n}{2}[/tex] seja um número natural.

  • Na sequência [tex]200, \, 201, \, 202, \, \cdots \, 498, \, 499[/tex] existem [tex]499-199=300[/tex] números naturais.
    Como nessa sequência temos um número par de termos, dos [tex]300[/tex] termos, [tex]\dfrac{300}{2}=150[/tex] são pares.

Pelo exposto, temos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$150$} \, [/tex] números naturais que cumprem as condições do problema.


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