.Problema para ajudar na escola: Três dígitos e três somas

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )


Os dígitos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex] formam os números de dois algarismos [tex]AB[/tex] e [tex]BD[/tex] que satisfazem as seguintes condições:

    • [tex]AB+BD=94[/tex]
    • [tex]AD+DB=134[/tex].

Determine a soma [tex] \, \boxed{BA+AD}[/tex].
(Aqui, as notações [tex]AB[/tex] e [tex]BA[/tex] não indicam produtos e sim representações de números de dois algarismos, no sistema decimal.)

Solução


Vamos indicar as somas [tex]AB+BD=94[/tex] e [tex]AD+DB=134[/tex] escrevendo para cada uma delas a etapa final de seu respectivo algoritmo da adição:

[tex]\hspace{4cm}\begin{array}{c c}
A&B\\
B&D\\
\hline
9&4
\end{array} \, \, +[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{c c c}
&A&D\\
&D&B\\
\hline
1&3&4
\end{array} \, \, +[/tex]
Observando as casas das unidades relativas à primeira soma, vemos que [tex]\boxed{\textcolor{red}{B+D=4}} \, [/tex] ou [tex] \, \boxed{\textcolor{blue}{B+D=14}} \, .[/tex]

  • Vamos supor, por um momento, que [tex]\boxed{\textcolor{red}{B+D=4}} \, .[/tex] Assim, olhando as casas das dezenas das duas somas indicadas, concluímos que [tex]A+B=9[/tex] e [tex]A+D=13[/tex] e, então,
    [tex]\qquad(A+D)-(A+B)=13-9[/tex]
    [tex]\qquad \boxed{D-B=4} \, .[/tex]
    Com isso teríamos [tex]\begin{cases}B+D=4\\ D-B=4 \end{cases}[/tex] e, consequentemente, [tex]D=4 \, [/tex] e [tex] \, B=0[/tex].
    Entretanto, perceba que a igualdade [tex] \, B=0[/tex] não é possível, visto que [tex]B[/tex] é o dígito inicial de um número com dois algarismos; consequentemente, a igualdade [tex]\boxed{\textcolor{red}{B+D=4}} \, [/tex] não pode ocorrer.
  • Vimos que ou [tex]\boxed{\textcolor{red}{B+D=4}} \, [/tex] ou [tex] \, \boxed{\textcolor{blue}{B+D=14}} \, [/tex] deve ocorrer, mas como [tex]\boxed{\textcolor{red}{B+D=4}} \, [/tex] não ocorre, necessariamente temos que [tex] \, \boxed{\textcolor{blue}{B+D=14}} \, .[/tex]

Vamos, então, olhar os dois algoritmos da soma acima indicados, utilizando a informação de que [tex] \, \boxed{\textcolor{blue}{B+D=14}} \, [/tex]:

    • Como [tex]B+D=14 \, [/tex], abaixo da coluna das unidades da primeira soma, colocamos [tex]\textcolor{#FF00FF}{4}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{#FF00FF}{1}[/tex] para a coluna das dezenas.
    • Como [tex]D+B=B+D=14 \, [/tex], abaixo da coluna das unidades da segunda soma, colocamos [tex]\textcolor{#A0522D}{4}[/tex] e levamos [tex]\textcolor{#A0522D}{1}[/tex] para a coluna das dezenas.

[tex]\hspace{4cm}\begin{array}{c c}
\textcolor{#FF00FF}{\underline{1}}& \, \\
A&B\\
B&D\\
\hline
9&\textcolor{#FF00FF}{4}
\end{array} \, \, +[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{c c c}
&\textcolor{#A0522D}{\underline{1}}&\\
&A&D\\
&D&B\\
\hline
1&3&\textcolor{#A0522D}{4}
\end{array} \, \, +[/tex]

    • Olhando, agora, as colunas das dezenas, na primeira soma concluímos que [tex]\textcolor{#FF00FF}{1+A+B=9} \, [/tex] e na segunda concluímos que [tex]\textcolor{#A0522D}{1+A+D=13} \, .[/tex] Assim, [tex]\textcolor{#FF00FF}{A+B=8} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#A0522D}{A+D=12} \, .[/tex]

Pronto, já conseguimos finalizar o problema!
Sabemos que [tex]\textcolor{#FF00FF}{A+B=8} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#A0522D}{A+D=12} \, [/tex], então podemos utilizar mais uma vez o algoritmo da adição e efetuar a soma[tex] \, \boxed{BA+AD}[/tex]:

[tex]\hspace{4cm}\begin{array}{c c}
\textcolor{#00BFFF}{\underline{1}}& \, \\
B&A\\
A&D\\
\hline
\textcolor{#00BFFF}{9}&\textcolor{#00BFFF}{2}
\end{array} \, \, +[/tex]

Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{$BA+AD=92$} \, .[/tex]

Observe que a partir das igualdade [tex]A+B=8[/tex] e [tex]A+D=12[/tex] conseguimos também obter os valores dos três dígitos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex].
Com efeito, das duas igualdades, obtemos [tex](A+D)-(A+B)=12-8[/tex] e, daí, concluímos que [tex]D-B=4[/tex].
Então segue que [tex] \, \begin{cases}B+D=14\\ D-B=4 \end{cases}[/tex] e, consequentemente, [tex]2D=18[/tex].
Portanto, temos [tex]D=9 \, ;B=5 \, ; \, A=3.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube Aqui medes.

Gincana de 2017 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Difícil

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