.Problema para ajudar na escola: Três antes e três depois

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Qual é o número de três algarismos tal que, acrescentando-se um algarismo [tex]3[/tex] antes da sua centena e um algarismo [tex]3[/tex] após a sua unidade, ficará aumentado de [tex]31.308[/tex] unidades?

Solução


Sejam [tex]a \, , \, b \, , \, c[/tex] os algarismos do número [tex]n[/tex] ao qual iremos acrescentar um algarismo [tex]3[/tex] antes da sua unidade e outro algarismo [tex]3[/tex] após a sua centena e [tex]m[/tex] o número resultante dos dois acréscimos. Assim:

  • [tex]\boxed{n=abc} \, \, \, [/tex] , [tex] \, \, \, \boxed{m=3abc3} \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, \boxed{m=n+31308}[/tex].

Vamos efetuar a conta [tex]m=n+31308[/tex]:

Primeira etapa:
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c c c}
3 & 1 & 3 & 0 & 8 & +\\
& & a & b & c & \\
\hline
3 & a & b & c & 3 &
\end{array}[/tex]
Na coluna das unidades, vamos analisar as unidades da soma [tex]8+c=3[/tex].

  • Como [tex]0\le c \le 9[/tex], então [tex]8\le 8+c \le 17[/tex].

O único número entre [tex]8[/tex] e [tex]17[/tex] que termina em [tex]3[/tex] é o [tex]13[/tex]; logo [tex]8+c=13[/tex] e, consequentemente, [tex]c=5[/tex].

Segunda etapa:
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c c c}
3 & 1 & 3 & \cancel{0}^1 & 8 & +\\
& & a & b & 5 & \\
\hline
3 & a & b & 5 & 3 &
\end{array}[/tex]
Na coluna das dezenas, vamos analisar as unidades da soma [tex]1+b=5[/tex].

  • Como [tex]0\le b \le 9[/tex], então [tex]1\le 1+b \le 10[/tex].

O único número entre [tex]1[/tex] e [tex]10[/tex] que termina em [tex]5[/tex] é o próprio [tex]5[/tex]; logo [tex] 1+b=5[/tex] e, consequentemente, [tex]b=4[/tex].

Terceira etapa:
[tex]\qquad \begin{array}{c c c c c c}
3 & 1 & 3 & 0 & 8 & +\\
& & a & 4 & 5 & \\
\hline
3 & a & 4 & 5 & 3 &
\end{array}[/tex]
Na coluna das centenas, vamos analisar as unidades da soma [tex]3+a=4[/tex].

  • Como [tex]0\le a \le 9[/tex], então [tex]3\le 3+a \le 12[/tex].

O único número entre [tex]3[/tex] e [tex]12[/tex] que termina em [tex]4[/tex] é o próprio [tex]4[/tex]; logo [tex] 3+a=4[/tex] e, consequentemente, [tex]a=1[/tex].

Finalizamos, então, a nossa conta:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c c}
3 & 1 & 3 & 0 & 8 & +\\
& & 1 & 4 & 5 & \\
\hline
3 & 1 & 4 & 5 & 3 &
\end{array}[/tex]

e concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=1$} \, [/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=4$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=5$} \, [/tex].
Portanto, o número em questão é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=145$} \, [/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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