.Problema para ajudar na escola: 50 inteiros consecutivos

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)


A soma de [tex]50[/tex] inteiros consecutivos é [tex]4475[/tex]. Qual é o maior desses inteiros?

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Lembrete

A soma dos [tex]n[/tex] primeiros números naturais não nulos é dada por
[tex] \qquad \boxed{1+2+3+ \cdots+n=\dfrac{(1+n)\cdot n}{2}}[/tex].

(Para aprender um pouco mais sobre a soma [tex]1+2+3+ \cdots+n[/tex], clique AQUI)

Solução


Representaremos a sequência desses cinquenta números consecutivos por:

  • [tex]x, \, x+1, \, x+2, \, \cdots \, ,x+49.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

Assim, pelos dados do problema,

  • [tex]x+(x+1)+(x+2)+ \, \cdots \, +(x+49)=4475.[/tex]

Dessa forma,
[tex]\qquad \underbrace{x+x+ \, \cdots \, +x}_{50}+(1+2+ \, \cdots \, +49)=4475[/tex]
[tex]\qquad 50x+\underbrace{(1+2+ \, \cdots \, +49)}_{\text{vamos usar a fórmula do lembrete }}=4475[/tex]

[tex]\qquad 50x+\dfrac{49\cdot50}{2}=4475[/tex]
[tex]\qquad 50x+49\cdot 25=4475[/tex]
[tex]\qquad 50x+1225=4475[/tex]
[tex]\qquad 50x=4475-1225[/tex]
[tex]\qquad 50x=3250[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{3250}{50}[/tex]
[tex]\qquad x=\boxed{65}.[/tex]

Agora, observe que o maior número da sequência [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] é [tex]\boxed{x+49}[/tex]; portanto, a resposta do problema é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$114$} \, .[/tex]


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