.Problema para ajudar na escola: Quase um quadrado perfeito…

Problema
(A partir do 8º ano do E. F.) (Nível: Médio)


Qual é o menor número inteiro não nulo que devemos multiplicar por [tex]98[/tex] para obtermos um quadrado perfeito? E por [tex]88[/tex]?

Para ajudar . . .


Definição: Quadrado perfeito é qualquer número natural que possa ser representado pelo quadrado de um número também natural.
Assim, um número natural n é dito um quadrado perfeito se, e somente se, existir um número natural [tex]a[/tex] tal que [tex]n=a^2[/tex].
Em símbolos:
[tex]\qquad \fbox{$\displaystyle \text{Seja } n \in \mathbb{N}.\\ n\, \acute{e}\, \text{quadrado perfeito} \iff \exists\, a \in \mathbb{N} \mid n=a^2 \, $}[/tex]

Para aprender um pouco mais, depois que você resolver o problema, visite esta Sala de Estudo.

Solução


Um número natural [tex] n[/tex] é um quadrado perfeito se, e somente se, existir um número natural [tex]a[/tex] tal que [tex]n=a^2[/tex].
Com isso, se [tex]p_1, \, p_2, \, \cdots \, ,p_m \, [/tex] forem os fatores primos (distintos) de [tex]n[/tex], então [tex] n[/tex] é um quadrado perfeito se, e somente se,
[tex]\qquad \boxed{n=p_1^{2q_1} \, p_2^{2q_2} \, \ldots \, p_m^{2q_m}}[/tex], com [tex]q_1, \, q_2, \, \ldots \, ,q_m[/tex] números naturais.
Podemos observar que quadrados perfeitos são números não negativos; assim, embora o enunciado admita que os números pelos quais multiplicaremos o [tex]98 \, [/tex] e o [tex] \, 88[/tex] sejam inteiros não nulos, tais números não poderão ser negativos, visto que os respectivos produtos resultantes, nesse caso, seriam também negativos e, portanto, não satisfariam a condição de serem quadrados perfeitos. Assim, faremos toda a discussão da solução no conjunto dos números naturais.
Feita a observação, vamos, inicialmente, escrever os números [tex]98 \, [/tex] e [tex] \, 88[/tex] como produtos de fatores primos:

  • [tex]98 = 2\times 7^2[/tex];
  • [tex]88=2^3 \times 11[/tex].

Como os expoentes dos fatores primos distintos de um quadrado perfeito são pares, perceba que:

  • se acrescentarmos um fator [tex]2[/tex] ao produto [tex] 2\times 7^2[/tex], obtemos [tex]x= 2^2 \times 7^2[/tex], que é um quadrado perfeito, já que [tex]x=\left(2 \times 7\right)^2[/tex];
  • se acrescentarmos um fator [tex]2[/tex] e um fator [tex]11[/tex] ao produto [tex] 2^3 \times 11[/tex], obtemos [tex]y= 2^4 \times 11^2[/tex], que é também um quadrado perfeito, pois [tex]y= \left(4 \times 11\right)^2[/tex].

Mais ainda, quando olhamos os números [tex]98 \, [/tex] e [tex] \, 88[/tex] escritos como [tex]\boxed{98 = 2\times 7\times 7} \, [/tex]e[tex] \, \boxed{88=2\times 2 \times 2 \times 11}[/tex], percebemos que os valores mínimos que precisamos para formarmos pares com os fatores de cada número, são, respectivamente “[tex]2[/tex]” e “[tex]2[/tex] e [tex]11[/tex]”. Observe:

  • [tex]98 = \textcolor{red}{\underbrace{ \, 2 \, \times \, ? \, }{}} \times \textcolor{blue}{\underbrace{ \, 7 \, \times \, 7 \, }{}}[/tex],
  • [tex]88 = \textcolor{red}{ \underbrace{ \, 2 \, \times \, 2 \, }{}} \times \textcolor{blue}{\underbrace{ \, 2 \, \times \, ? \, }{}} \times \textcolor{green}{\underbrace{ \, 11 \, \times \, ? \, }{}}[/tex].

Portanto:

  • O menor número não nulo que devemos multiplicar por [tex]98[/tex] para obtermos um quadrado perfeito é [tex]2[/tex].
  • O menor número não nulo que devemos multiplicar por [tex]88[/tex] para obtermos um quadrado perfeito é [tex]2\times 11=22[/tex].



Se você não se lembra de como obter a decomposição dos números [tex]98 \, [/tex] e [tex] \, 88[/tex] em fatores primos, clique no botão abaixo e siga as instruções.

Instruções:
1) Clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo e aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Clique no ícone ► que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo.
3) Para parar a animação, basta clicar no ícone || que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo durante a animação.
4) Para reiniciar as fatorações, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.

Para carregar o applet, clique AQUI

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube Paralelo 38.

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