.Problema para ajudar na escola: Quantos dígitos?

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(ONEM, 2008 – Adaptado) Quantos algarismos tem o produto que se obtém ao multiplicarmos os números [tex]2^{2018}[/tex] e [tex]5^{2019}[/tex]?

Solução


Seja [tex]P=2^{2018} \times 5^{2019}.[/tex]
Vamos reescrever a multiplicação que define [tex]P[/tex] de maneira conveniente. Veja:
[tex]\qquad P=2^{2018} \times 5^{2019}\\
\qquad P=2^{2018} \times 5^{2018} \times 5\\
\qquad P=\left(2 \times 5 \right)^{2018} \times 5\\
\qquad P=10^{2018} \times 5\\
\qquad P=5 \times 10^{2018}\\
\qquad P=5 \underbrace{000\dots 00}_{2018\,zeros}. [/tex]

Assim, o produto [tex]P[/tex] tem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2018+1=2019$}[/tex] algarismos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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