.Problema para ajudar na escola: Qual o maior?

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(Um Círculo Matemático de Moscou – Adaptado) Considere os seguintes números naturais:

[tex]a=222222222222222222223\times 333333333333333333333,\\
\, \, \\
b=111111111111111111111\times 666666666666666666666.[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(1)}}[/tex] Nessas condições, [tex]a=b\, [/tex], [tex]\, a\lt b\, [/tex] ou [tex]\, a\gt b\, ?[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(2)}}[/tex] Calcule [tex]\, a-b[/tex].

Solução


[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(1)}}[/tex] Vamos, inicialmente, comparar os números
[tex]\qquad c=222222222222222222222\times 333333333333333333333[/tex]
e
[tex]\qquad b=111111111111111111111\times 666666666666666666666.[/tex]
Observe que:
[tex]\qquad c=2\times\left(111111111111111111111\right)\times 3\times\left(111111111111111111111\right)[/tex]
[tex]\qquad c=\left(2\times 3 \right) \times\left(111111111111111111111\right)\times \left(111111111111111111111\right)[/tex]
[tex]\qquad \boxed{c=6\times\left(111111111111111111111\right)^2}[/tex]
e também que:
[tex]\qquad b=\left(111111111111111111111\right)\times 6\times\left(111111111111111111111\right)[/tex]
[tex]\qquad\boxed{b=6\times\left(111111111111111111111\right)^2}[/tex].
Logo, [tex]b=c.[/tex]
Por outro lado, note que:
[tex]\qquad 222222222222222222223=222222222222222222222+1, \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
e, assim, segue que:
[tex]\qquad a=222222222222222222223\times 333333333333333333333 [/tex]
[tex]\qquad a\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\left(222222222222222222222+1\right)\times 333333333333333333333 [/tex]
[tex]\qquad a=\left(222222222222222222222 \times 333333333333333333333\right)+\\
\qquad \qquad + \left(1 \times 333333333333333333333\right) [/tex]
[tex]\qquad a=\underbrace{\left(222222222222222222222 \times 333333333333333333333\right)}_{c}+\\
\qquad \qquad + 333333333333333333333[/tex]
[tex]\qquad a=c+ 333333333333333333333[/tex]
[tex]\qquad a\stackrel{\textcolor{#800000}{(b=c)}}{=}b+ 333333333333333333333. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a \gt b $}\, .[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(2)}}[/tex] Agora, vamos calcular [tex]a-b[/tex].
De [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que [tex]\boxed{a=b+333333333333333333333}[/tex]; portanto, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a-b=333333333333333333333$}\, .[/tex]


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