.Problema para ajudar na escola: Qual a minha centena ?

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Eu sou um número de três algarismos. Ao multiplicar os meus três algarismos, você obtém [tex]126[/tex]; mas, ao somar os dois últimos, você obtém [tex]10[/tex].
Qual é o meu algarismo de centena?

Ajuda

Para você entender a solução que vamos apresentar, é necessário que você saiba como obter os divisores positivos de um dado número natural não nulo.

  • Se você não se lembra de como fazer isso, consulte esta página . Depois de terminar a leitura, não se esqueça de fechar a janelinha que irá se abrir.

(Para aprender um pouco mais sobre o assunto, visite esta Sala de Leitura)

Solução


  • Vamos denotar os algarismos das centenas, dezenas e unidades por, respectivamente, [tex]x[/tex] ; [tex]y \, [/tex] ; [tex]z.[/tex] Assim, o número [tex]n[/tex] em questão é [tex]n=xyz.[/tex]
  • (Aqui, a notação [tex]xyz[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)

    Dessa forma, pelos dados do problema, [tex]\boxed{x \cdot y \cdot z=126} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{y + z=10} \, .[/tex]

  • Inicialmente, vamos obter os divisores de [tex]126 \, [/tex], para determinarmos [tex]y \, [/tex] e [tex]z.[/tex]

 
[tex]\begin{array}{r|l} 126 & 2 \\63 & 3 \\21 & 3 \\7 & 7 \\1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.5 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 126 & 2 & \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{2}\\63 & 3 & \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{3} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{6}\\21 & 3 & \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{9} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{18}\\7 & 7 & \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{7} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{14} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{21} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{42} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{63} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#FFC0CB}{126}\\ 1 \end{array}[/tex]

  • Como [tex] y + z=10[/tex], vamos iniciar examinando os divisores de [tex]126[/tex] menores do que [tex]10[/tex]: [tex]1, \, 2, \, 3, \, 6, \, 7, \, 9.[/tex]
    Perceba que temos duas possibilidades para a soma [tex] y + z[/tex]: [tex]1+ 9=10[/tex] e [tex]3+7=10[/tex].
    • Mas [tex]x \cdot y \cdot z=126 \, [/tex]; assim, com a primeira possibilidade teríamos [tex]x=\dfrac{126}{9\times 1}=14 \, [/tex] e isso não é possível pois [tex]x[/tex] é um algarismo, logo é menor do que [tex]10[/tex].
    • Já com a segunda possibilidade, temos [tex]x=\dfrac{126}{3\times 7}=6 \, [/tex] e isso é possível, já que [tex]6[/tex] é um número natural menor do que [tex]10[/tex] e, portanto, um algarismo.

Dessa forma, [tex]n=637[/tex] ou [tex]n=673[/tex]; de todo modo, o algarismo da centena do número em questão é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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Se você não se lembra dos processos que utilizamos para encontrar os divisores de [tex]126[/tex], consulte esta página .
Depois de terminar a leitura, não se esqueça de fechar a janelinha que irá se abrir.

Participou da discussão o Clube Escola Rubem Esteves Ruffo.

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