.Problema para ajudar na escola: Quadrados coloridos e números

Problema
(A partir do 8º ano do E. F.) (Nível: Médio)


(OMRN2011-adaptado) Mariana gosta de números e de quadrados coloridos. Ela formou uma fila com cinco quadrados de mesmo tamanho e identificou cada quadrado com um número.
O número com que ela identificou o primeiro quadrado foi o [tex]7[/tex] e o quarto quadrado foi identificado por [tex]19[/tex].

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Sabe-se que o número que ela utilizou para identificar cada quadrado amarelo é a média aritmética dos números dos respectivos quadrados vizinhos.
Então, com que número Mariana identificou o quadrado verde?

Solução


Sejam [tex]m \, , \, n \, [/tex] e [tex] \, t[/tex] os números que Mariana utilizou para identificar os quadrados restantes, conforme mostra a próxima figura.

Como o número utilizado para identificar cada quadrado amarelo é a média aritmética dos números dos respectivos quadrados vizinhos, temos que:

  • [tex]n=\dfrac{7+m}{2} \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
  • [tex]m=\dfrac{n+19}{2} \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
  • [tex]19=\dfrac{m+t}{2}. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]

Observe que, por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], para determinarmos o valor de [tex]t[/tex], precisamos do valor de [tex]m[/tex] e este pode ser obtido se utilizarmos as equações [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex].
Com efeito, de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos que [tex]\boxed{n=2m-19}[/tex] e substituindo essa expressão de [tex]n[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que:
[tex]\qquad 2m-19=\dfrac{7+m}{2} [/tex]
[tex]\qquad 2\left(2m-19\right)=7+m [/tex]
[tex]\qquad 4m-38=7+m [/tex]
[tex]\qquad 4m-m=7+38 [/tex]
[tex]\qquad 3m=45 [/tex]
[tex]\qquad m=15. [/tex]
Dessa forma, segue, por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], que:
[tex]\qquad 19=\dfrac{15+t}{2}[/tex]
[tex]\qquad 38=15+t[/tex]
[tex]\qquad t=38-15[/tex]
[tex]\qquad t=23.[/tex]
Assim, Mariana preencheu o quadrado verde com o número [tex]23[/tex].
Perceba que podemos, ainda, calcular o valor de [tex]n[/tex]: [tex]n=2 \times 15-19=30-19=11[/tex].
Com isso, a fila com quadrados que Mariana formou ficou assim:

Vamos conferir a nossa resposta?

[tex]\qquad \qquad\boxed{\underbrace{7 \, \, \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$11$} \, \, 15}_{\frac{7+15}{2}=11} \, \, 19 \, \, 23}\qquad \qquad[/tex][tex]\qquad \qquad\boxed{7 \, \, \underbrace{11 \, \, \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$15$} \, \, 19}_{\frac{11+19}{2}=15} \, \, 23}\qquad \qquad[/tex][tex]\qquad \qquad\boxed{7 \, \, 11 \, \, \underbrace{15 \, \, \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$19$} \, \, 23}_{\frac{15+23}{2}=19}}[/tex]


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