.Problema para ajudar na escola: Problemas na decolagem

Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Um avião que iria decolar de um grande e movimentado aeroporto teve um problema técnico e não pôde levantar voo. A empresa responsável pretende dividir os [tex]112[/tex] passageiros do avião em grupos com o mesmo número de pessoas e acomodá-los em outras aeronaves.
De quantas maneiras a empresa poderá fazer a distribuição dos [tex]112[/tex] passageiros em outros aviões, se cada grupo deve ter no mínimo [tex]5[/tex] e no máximo [tex]15[/tex] passageiros?

A solução deste problema é simples, mas envolve o cálculo de todos os divisores positivos de um dado número natural.
Se precisar relembrar esse assunto, acesse esta Sala.

Solução


Inicialmente, vamos fazer a decomposição do número [tex]112[/tex] em fatores primos e, a partir dela, determinaremos todos os divisores positivos de [tex]112[/tex].

 
[tex]\begin{array}{r|l} 112& 2 \\56 & 2 \\28 & 2 \\14 & 2 \\ 7 & 7\\1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.4 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} 112 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\
56 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\
28 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{8}\\
14 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{16}\\
7 & 7 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{7} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{14} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{28} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{56} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{112}\\
1 \end{array}[/tex]

Agora, observe que os únicos divisores de [tex]112[/tex] que estão entre [tex]5[/tex] e [tex]15[/tex] são [tex]7, \, 8 \, [/tex] e [tex] \, 14 \, [/tex]; portanto, a empresa poderá fazer a distribuição dos [tex]112[/tex] passageiros em outros aviões de três maneiras diferentes.
Mesmo sem ser necessário, vamos calcular o número de passageiros de cada grupo nas três situações possíveis, para uma melhor visualização da solução.

Quantidade de passageiros por grupo Número de grupos Verificação
[tex]7[/tex] [tex]16[/tex] [tex]7\times 16=112[/tex]
[tex]8[/tex] [tex]14[/tex] [tex]8\times 14=112[/tex]
[tex]14[/tex] [tex]8[/tex] [tex]14\times 8=112[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-problemas-na-decolagem/