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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
Diego tem treze objetos, cada um com peso de [tex]1[/tex] a [tex]13[/tex] quilos (inteiros).
Dispondo de três diferentes pesos, Diego consegue pesar qualquer um desses objetos em uma balança de dois pratos?
Em caso positivo, que pesos Diego pode utilizar?
Solução 1
Como os objetos estão prontos para serem pesados, cada um tem seu peso já determinado e esse peso não muda durante a respectiva pesagem, é possível sim Diego pesar qualquer um dos treze objetos em sua balança de dois pratos.
Para comprovarmos essa afirmação, utilizaremos pesos de [tex]1[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]9[/tex] quilos, colocaremos o objeto a ser pesado em um dos dois pratos, P1, o(s) peso(s) serão colocados nos dois pratos, P1 e P2, e tentaremos o equilíbrio dos pratos em todos os casos.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]1[/tex] quilo, colocamos apenas o peso de [tex]1\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }1\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{1\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]2[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]1\,kg[/tex] no prato P1 e o peso de [tex]3\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }2\,kg\,}} \, \textcolor{red}{\boxed{1\;kg}} \, }& \, \, \, &\underline{\qquad \quad\textcolor{blue}{\boxed{3\;kg}}\qquad \quad} \end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]3[/tex] quilos, colocamos apenas o peso de [tex]3\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }3\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{3\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]4[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]1\,kg[/tex] e [tex]3\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }4\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{1\;kg}}\,\,\textcolor{blue}{\boxed{3\;kg}}\quad}
\end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]5[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]1\,kg[/tex] e [tex]3\,kg[/tex] no prato P1 e o peso de [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }5\,kg\,}} \, \textcolor{red}{\boxed{1\;kg}} \, \textcolor{red}{\boxed{3\;kg}} \, }& \, \, \, &\underline{\qquad \quad\textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\qquad \quad} \end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]6[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]3\,kg[/tex] no prato P1 e o peso de [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }6\,kg\,}} \, \textcolor{red}{\boxed{3\;kg}} \, }& \, \, \, &\underline{\qquad \quad\textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\qquad \quad} \end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]7[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]3\,kg[/tex] no prato P1 e os pesos de [tex]1\,kg[/tex] e [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }7\,kg\,}} \, \textcolor{red}{\boxed{3\;kg}} \, }& \, \, \, &\underline{\quad \, \, \, \textcolor{blue}{\boxed{1\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}} \, \, \, \quad } \end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]8[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]1\,kg[/tex] no prato P1 e o peso de [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }8\,kg\,}} \, \textcolor{red}{\boxed{1\;kg}} \, }& \, \, \, &\underline{\qquad \quad\textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\qquad \quad} \end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]9[/tex] quilos, colocamos apenas o peso de [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }9\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]10[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]1\,kg[/tex] e [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }10\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{1\;kg}}\,\,\textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\quad}
\end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]11[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]1\,kg[/tex] no prato P1 e os pesos de [tex]3\,kg[/tex] e [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }11\,kg\,}} \, \textcolor{red}{\boxed{1\;kg}} \, }& \, \, \, &\underline{\quad \, \, \, \textcolor{blue}{\boxed{3\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}} \, \, \, \quad } \end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]12[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]3\,kg[/tex] e [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }12\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{3\;kg}}\,\,\textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\quad}
\end{array}\\[/tex] - Para descobrir o objeto que pesa [tex]13[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]1\,kg[/tex], [tex]3\,kg[/tex] e [tex]9\,kg[/tex] no prato P2.
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\quad\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }13\,kg\,}}\quad}& \, \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{1\;kg}}\,\,\textcolor{blue}{\boxed{3\;kg}}\,\,\textcolor{blue}{\boxed{9\;kg}}\quad}
\end{array}\\[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sabemos que não existe nenhum conjunto de [tex]3[/tex] pesos que vá dar todos os números de [tex]1[/tex] a [tex]13[/tex] só somando, ou seja, é impossível equilibrar cada peça em um prato da balança com um, dois ou três pesos no outro prato da balança. Até mesmo porque só há sete possíveis organizações dos três pesos A,B e C no outro prato: A; B; C; A e B; A e C; B e C; A, B e C, então seria impossível conseguirmos pesar 13 peças com pesos distintos.
Mas é possível fazer as pesagens propostas e para isso tomamos pesos de [tex]2[/tex], [tex]4[/tex] e [tex]6[/tex] quilos, colocamos o objeto a ser pesado em um dos dois pratos, P1, e o(s) peso(s) no outro prato, P2; porém não utilizaremos apenas pesagens por equilíbrio perfeito entre os pratos.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]1[/tex] quilo, colocamos apenas o peso de [tex]2\,kg[/tex] e o prato P2 baixará. O único objeto para o qual isso poderá acontecer é o de peso [tex]1[/tex].
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]2[/tex] quilos, colocamos apenas o peso de [tex]2\,kg[/tex] e os dois pratos ficarão equilibrados.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]3[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]2\,kg[/tex]: P1 permanecerá embaixo. Substituímos o peso de [tex]2 \, kg[/tex] pelo de [tex]4 \, kg[/tex] e P2 vai baixar.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]4[/tex] quilos, colocamos apenas o peso de [tex]4\,kg[/tex] e os dois pratos ficarão equilibrados.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]5[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]4\,kg[/tex]: P1 permanecerá embaixo; aí substituímos o peso de [tex]4 \, kg[/tex] pelo de [tex]6 \, kg[/tex] e P2 vai baixar.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]6[/tex] quilos, colocamos apenas o peso de [tex]6\,kg[/tex] e os dois pratos ficarão equilibrados.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]7[/tex] quilos, colocamos o peso de [tex]6\,kg[/tex]: P1 permanecerá embaixo. Colocamos, então os pesos de [tex]2[/tex] e de [tex]6[/tex] quilos juntos, [tex]8[/tex] quilos no total, e P2 vai baixar.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]8[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]2[/tex] e de [tex]6[/tex] quilos juntos, [tex]8[/tex] quilos no total, e os dois pratos ficarão equilibrados.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]9[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]2[/tex] e de [tex]6[/tex] quilos juntos: P1 permanecerá embaixo. Aí colocamos os pesos de [tex]4[/tex] e de [tex]6[/tex] quilos juntos, [tex]10[/tex] quilos no total, e P2 vai baixar.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]10[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]4[/tex] e de [tex]6[/tex] quilos juntos, [tex]10[/tex] quilos no total, e os dois pratos ficarão equilibrados.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]11[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]4[/tex] e de [tex]6[/tex] quilos juntos: P1 permanecerá embaixo. Aí colocamos os pesos de [tex]6[/tex], de [tex]4[/tex] e de [tex]2[/tex] quilos juntos, [tex]12[/tex] quilos no total, e P2 vai baixar.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]12[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]6[/tex], de [tex]4[/tex] e de [tex]2[/tex] quilos juntos, [tex]12[/tex] quilos no total, e os dois pratos ficarão equilibrados.
- Para descobrir o objeto que pesa [tex]13[/tex] quilos, colocamos os pesos de [tex]6[/tex], de [tex]4[/tex] e de [tex]2[/tex] quilos juntos, [tex]12[/tex] quilos no total, então P1 permanecerá embaixo.
[tex]\begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }1\,kg\,}}}& \, \, \, &\\
& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}}\qquad}\\
\end{array}\\[/tex]
[tex] \qquad \qquad\begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }2\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex]
[tex] \begin{array}{c c c}
& \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}}\quad}\\
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }3\,kg\,}}}& \, \, &\\
\end{array}\;\longmapsto \;\begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }3\,kg\,}}}& \, \, &\\
& \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}}}\\
\end{array}\\[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }4\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex]
[tex] \begin{array}{c c c}
& \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}}\quad}\\
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }5\,kg\,}}}& \, \, &\\
\end{array}\;\longmapsto \;\begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }5\,kg\,}}}& \, \, &\\
& \, \, &\underline{\quad \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}}\\
\end{array}\\[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }6\,kg\,}}}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex]
[tex] \begin{array}{c c c}
& \, \, &\underline{\;\textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}\quad}\\
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }7\,kg\,}}}& \, \, &\\
\end{array}\;\longmapsto \;\begin{array}{c c c}
\underline{\quad\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }7\,kg\,}}\;}& \, &\\
& \, &\underline{\;\textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}}\\
\end{array}\\[/tex]
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\qquad\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }8\,kg\,}}\qquad}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}}\qquad \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex]
[tex] \begin{array}{c c c}
& \, \, &\underline{\;\textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}}\\
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }9\,kg}}}& \, \, &\\
\end{array}\;\longmapsto \;\begin{array}{c c c}
\underline{\;\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }9\,kg}}}& &\\
& \, &\underline{\textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}}\\
\end{array}\\[/tex]
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\qquad\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }10\,kg\,}}\qquad}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex]
[tex] \begin{array}{c c c}
& &\underline{\textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}} \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}}\\
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }11\,kg\,}}}& &\\
\end{array}\,\longmapsto \,\begin{array}{c c c}
\underline{\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }11\,kg}}}& &\\
& &\underline{\textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}} \, \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}} \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}}\\
\end{array}\\[/tex]
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
\underline{\qquad\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }12\,kg\,}}\qquad}& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}\qquad}
\end{array}\\[/tex]
[tex] \qquad \qquad \begin{array}{c c c}
& \, \, \, &\underline{\qquad \textcolor{blue}{\boxed{2\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{4\;kg}} \, \, \textcolor{blue}{\boxed{6\;kg}}\qquad}\\
\underline{\qquad\textcolor{red}{\boxed{\text{objeto de }13\,kg\,}}\qquad}& \, \, \, &\end{array}\\[/tex]
Solução elaborada pelo Clube Os Nóbregas, com contribuições dos Moderadores do Blog.
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